Integral que implica numerosas funciones de erf

Question

Como parte de un problema mayor, estoy desconcertado con la informática:

ps

He encontrado que lo hizo Briggs, 2003, para una función$$\int_0^\infty e^{-x^2}\cdot \operatorname{erf}(s_1 x)\cdot \operatorname{erf}(s_2 x)\cdot \operatorname{erf}(s_3 x)\cdot \ldots \cdot \operatorname{erf}(s_n x) \; \mathrm{d}x.$, y aquí: http://mathworld.wolfram.com/Erf.html eq.34 para funciones de dos$\operatorname{erf}$.

La aproximación decente también sería apreciada si la forma cerrada está ausente. Gracias por adelantado.

Answer 1

Definir:$$I\left( {{s}_{1}},...,{{s}_{n}} \right)=\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-{{x}^{2}}}}erf\left( {{s}_{1}}x \right)\cdots erf\left( {{s}_{n}}x \right)dx}$ $

Demuestre que: $$ \begin{align} & \frac{\partial I}{\partial {{s}_{n}}...\partial {{s}_{1}}}={{\left( \frac{2}{\sqrt{\pi }} \right)}^{n}}\int_{0}^{\infty }{{{x}^{n}}{{e}^{-\left( 1+s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+\cdots +s_{n}^{2} \right){{x}^{2}}}}dx} \\ & \quad \quad \quad \ \ ={{\left( \frac{2}{\sqrt{\pi }} \right)}^{n}}\frac{\Gamma \left( \left( n+1 \right)/2\ \right)}{2\sqrt{{{(1+s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+\cdots +s_{n}^{2})}^{1+n}}}} \\ \end {align} $$

¿Puedes encontrar$I\left( {{s}_{1}},...,{{s}_{n}} \right)$? No es fácil.