Problemas para verificar el problema de la solución límite de PDE

Question

Yo estoy haciendo este problema con algunos de los otros estudiantes, pero parece que nuestra solución no funciona?

Tenemos la ecuación diferencial parcial $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} -2 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x \, \partial y} - 3\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$.

Hemos encontrado la solución general a ser $u(x, y) = F_1(x - y) + F_2(3x + y)$ donde $F_1$ $F_2$ son funciones arbitrarias.

Queremos una solución a la ecuación con el general de las condiciones de contorno $u(x,0) = g_0(x)$$u_y(x,0) = g_1(x)$.

$$u(x,0) = g_0(x): u(x, 0) = F_1(x) + F_2(3x) = g_0(x)$$

$$u_y(x,0) = g_1(x): u_y(x, 0) = -F_1'(x) + F_2'(3x) = g_1(x)$$

Nuestro trabajo es como sigue:

Así que tenemos $F_1(x) + F_2(3x) = g_0(x)$$-F_1'(x) + F_2'(3x) = g_1(x)$.

La integración de $-F_1'(x) + F_2'(3x) = g_1(x)$:

$-F_1(x) + \frac13 F_2(3x) = \int g_1(x)dx+c_1$

La adición de este a $F_1(x) + F_2(3x) = g_0(x)$:

$F_2(3x) =\frac34 \left(g_0(x)+\int g_1(x)dx +c_1\right)$

Y desde $F_1(x) + F_2(3x) = g_0(x) \rightarrow F_1(x) = g_0(x) - F_2(3x)$:

$$F_1(x) = g_0(x) - \frac{3}{4} \int g_1(x) \ dx - \frac{3}{4} g_0(x)$$

Y por lo que debemos comprobar que nuestro trabajo:

$$u(x,y) = F_1(x - y) + F_2(3x + y) = \\ = g_0(x - y) - \frac{3}{4} \int g_1 (x - y) dx - \frac{3}{4} g_0(x - y) + \frac{3}{4} \int g_1 (x - y) dx + \frac{3}{4} g_0 (x - y)$$

$$= g_0(x - y)$$

$$u_y(x, y) = - g_0(x - y) $$

$$u_y(x, 0) = - g_0(x) \not= g_1(x)$$

Si no me equivoco, debemos tener $u_y(x, 0) = g_1(x)$ aquí?

Les agradecería mucho si la gente podría, por favor tome el tiempo para aclarar esto para nosotros.

Answer 1

Sus problemas provienen de la integración de la ecuación$-F'_1(x)+F_2(3\,x)=g_1(x)$. Debe escribir $$ -F_1 (x) + \ frac13 \, F_2 (3 \, x) = \ int_0 ^ xg_1 (t) \, dt. $$ La elección de$0$ como límite inferior de integración es arbitraria. Entonces \begin{align} F_1(x)&=\frac14\,g_0(x)-\frac34\int_0^xg_1(t)\,dt\\ F_2(x)&=\frac34\,g_0\Bigl(\frac x3\Bigr)+\frac34\int_0^{x/3}g_1(t)\,dt \end {align}