Cómo resolver $\sin^2(x)+\sin2x+2\cos^2(x)=0$

Question

¿Cómo se resuelve $\sin^2(x)+\sin2x+2\cos^2(x)=0$ ? He podido reescribirlo como $(\sin(x)+\cos(x))^2+\cos^2(x)=0$ . No es obviamente útil, creo

Answer 1

¡Lo que has hecho aquí es realmente perfecto! Sabemos que la única manera de que esta expresión sea $0$ es si

$$\sin(x)+\cos(x)=0$$ y $$\cos^2(x)=0\to\cos(x)=0$$

Sabemos que ambas cosas no pueden ser posibles porque eso implicaría $\sin(x)=\cos(x)=0$ lo cual es falso. Así que la solución de la ecuación dada no existe.

Answer 2

La respuesta de Rushabh es perfecta, aunque yo lo haría de forma ligeramente diferente. Tenga en cuenta que $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ por lo que su ecuación se puede reescribir como $$ \sin^2 x + 2\sin x\cos x + 2\cos^2 x = 0.$$ Si tratas $\sin x$ y $\cos x$ como variables independientes $u$ y $v$ se convierte en la ecuación cuadrática $$ u^2 + 2uv + 2v^2 = 0, $$ donde queda claro que no hay soluciones, ya que el discriminante es $\triangle = 2^2-4\times 2 = -4<0$ .

Answer 3

Desde $$(\sin x + \cos x )^2 + \cos ^2x =0$$ obtenemos $$(\sin x + \cos x )^2=0$$ y $$\cos ^2x =0$$

La primera identidad implica $$\tan x =-1$$ y la segunda identidad implica $$\cos x=0$$ que hace que $\tan x = \pm \infty $ .

Por lo tanto, no hay ninguna solución que satisfaga ambas identidades, es decir, su ecuación no tiene solución.

Answer 4

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ por lo que tenemos:

$$\sin 2x + \cos^2 x + 1 = 0$$

Ahora, $\cos^2 x ≥ 0$ y $\sin 2x ≥ -1$ por lo que las únicas soluciones son cuando $\cos^2 x = 0$ y $\sin 2x = -1$ .

Cuando $\cos^2 x = 0$ , $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ o $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ . Sin embargo, $\sin \left( 2(-\frac{\pi}{2}) \right) = 0$ y $\sin \left( 2(\frac{\pi}{2}) \right) = 0$ Así que no hay soluciones.

Answer 5

Una pista:

Para $a\sin^2x+b\cos^2x+c\sin2x=0,$

dividir ambos lados por $\cos^2x$ como $\cos x\ne0$ (¿por qué?)

para encontrar $$at^2+2ct+b=0$$ donde $t=\tan x$

Para una solución real, el discriminante debe ser $\ge0$