La existencia de un modelo transitivo es estrictamente más fuerte que la consistencia?

Question

Parece que deberíamos ser capaces de demostrar que la existencia de un modelo transitivo para ZFC es estrictamente más fuerte que Con (ZFC), pero no puedo encontrar nada que diga eso / argumentar a favor. ¿Hay una forma estándar de demostrar esto?

Un ejemplo de lo que estoy buscando, si existiera: dado Con (ZFC), ¿hay alguna forma de generar un modelo que modele Con (ZFC) pero que crea que ningún modelo de ZFC es transitivo?

Answer 1

Cualquier modelo de ZFC + Con (ZFC) +$\neg$ Con (ZFC + Con (ZFC)) debería funcionar. (Esta teoría es, según el segundo teorema de incompletitud, consistente si ZFC + Con (ZFC) es).

Dado que el modelo cree que Con (ZFC) y también cree que ningún modelo de ZFC puede creer Con (ZFC), los únicos modelos de ZFC que puede saber serán aquellos que considere que tienen números enteros no estándar. Los modelos no estándar de aritmética nunca están bien fundamentados, por lo que dicho modelo interno no puede ser transitivo.