Si un círculo se dibuja tocar el inscrito y circunscrito a círculos de una $\triangle ABC$ y el lado de la $BC$ externamente, demostrar que su radio es: $$r=\dfrac{\triangle}{a}\tan^2\dfrac{A}{2}$$
He intentado utilizar el triángulo formado por el circuncentro, incentro y el centro del círculo por encima de como me conozco todos los lados en términos de $r$ el uso de coseno regla, pero yo no conozco a ninguno de los ángulos.
Por favor, ayuda!
Respuesta
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El centro de $J$ de las quería círculo puede ser construido por la intersección de una recta y una parábola, ya que mediante el establecimiento $s=JL$ tenemos $JO=R-s$.
Si tomamos $B$ como el origen y la $BC$ $x$- eje, la ecuación de la querían parábola es $y=kx(x-a)$. Desde la distancia de $O$$BC$$R\cos A$, el vértice se encuentra en $\left(\frac{a}{2},-\frac{R}{2}(1-\cos A)\right)$ y
$$k=\frac{2R}{a^2}(1-\cos A)=\frac{1-\cos A}{2R\sin^2 A}=\frac{\sin^2\frac{A}{2}}{R\sin^2 A}=\frac{1}{2R\cos^2\frac{A}{2}}.$$
De curso $BL=\frac{a+c-b}{2}$, por lo tanto
$$ s = \frac{1}{2R\cos^2\frac{A}{2}}\cdot \frac{a+c-b}{2}\cdot\frac{a-c+b}{2} $$
y supongo que se puede tomar a partir de aquí, sólo recordando que $abc=4R\Delta$$2\sin^2\frac{A}{2}=1-\cos A=1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
