Supongamos que se tienen dos (bastante bueno) funciones de $f$ $g$ y una constante de $\lambda$ tal que $$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$$ Es cierto que $$\lim_{x\to\infty}\frac{f^{-1}(x)}{g^{-1}(x/\lambda)}=1$$
El "razonamiento" va como esta: $$\frac{f(x)}{g(x)}\approx\lambda$$ $$f(x)\approx\lambda g(x)$$ $$x\approx f^{-1}(\lambda g(x))$$ $$g^{-1}(x/\lambda)\approx f^{-1}(x)$$ $$\frac{f^{-1}(x)}{g^{-1}(x/\lambda)}\approx 1$$
todo esto suponiendo que no hay ningún problema en $x\mapsto f^{-1}(x)$ $x\mapsto g^{-1}(x/\lambda)$
Creo suponiendo que "lo suficientemente bueno" (continuidad, a la inversa, ...) y ser un poco más precisos como $$f(x)=\lambda g(x)+o(g(x))$$ probará la declaración.
Lo que me interesa más es en qué condiciones, ¿sigue siendo cierto en la variable discreta (y que no existe la función inversa para $f$ o $g$ o ambos)
Gracias!
