¿Cómo afecta el líquido en una bola de su aceleración rotacional hacia abajo de una rampa?

Question

Supongamos que tenemos una shell con la masa de $M$ y radio de $R$. Si dejamos que ruedan sin deslizarse por una rampa de ángulo theta a la horizontal, se puede encontrar fácilmente la aceleración de la shell en el instante en que la pelota es dejar ir.

Ahora, lo que si nos llene completamente el shell de masa $M$ y radio de $R$, con una fricción de fluido de masa $M$ y se deja rodar hacia abajo (sin deslizamiento) de una rampa con un ángulo theta? He estado pensando en esto por un tiempo, pero parece no puede encontrar lo que la aceleración instantánea es tan pronto como el $\text{shell + liquid}$ es dejar ir.

Answer 1

Si su objetivo es asumir el líquido en el interior es la fricción, y luego considerar la rotación de la esfera hueca con un no-rotación de la masa en el interior. Incluir el total de la masa de la concha y el agua en $m$, pero sólo incluyen la inercia de la cáscara en $I$. En segundo lugar, si desea que la aceleración, entonces usted no puede depender de la energía de los métodos, y la necesidad de escribir un diagrama de cuerpo libre en 2D. He orientado el eje x a lo largo de la baja de la rampa de la dirección, y el eje y perpendicular a esta.

• $a_x$ aceleración del centro del objeto a lo largo de la baja de la rampa [$m/s^2$],
• $\alpha$ aceleración angular (sobre el eje z) del centro del objeto [$rad/s^2$],
• $f_x$ de la fuerza de fricción entre la shell y la rampa (a lo largo del eje x punta opuesta de $a_x$) [$N$],
• $m$ de la masa total del objeto (líquido+shell) [$kg$],
• $g$ aceleración debida a la gravedad [$m/s^2$],
• $\theta$ ángulo entre la rampa y la horizontal del suelo [$rad$],
• $I$ momento de inercia alrededor del centro de masa de la concha [$kg \cdot m^2$],
• $N=mg\text{cos}(\theta)$ normal de la fuerza perpendicular a la superficie de la rampa (y positivo, dirección) [$N$]
• $R$ radio exterior de la concha [$m$],
• $M_z$ momentos alrededor del eje z [$Nm$].

Primera resolver por la fuerza de fricción $f$ suponiendo que no hay deslizamiento se produce, lo que implica la concha de la aceleración angular es comparable a la bola del centro de la aceleración, $$a_x=\alpha R$$ Sumando los momentos (sobre el eje z) a resolver por la fuerza de fricción $f$ $$\sum M_z = I\alpha = fR$$

$$f = \frac{Ia_x}{R^2}$$

La integridad de aquí es la dirección del eje y la ecuación de movimiento, aunque no es necesario: $$\sum F_y= 0 = N - mg \cdot \text{cos}(\theta)$$ A continuación, cree la dirección x de la ecuación de movimiento: $$\sum F_x = ma_x = mg \cdot \text{sin}(\theta)-f$$ Sustituir en la anterior $f$ y resolver para $a_x$:

$$ a_x = \frac{mg \cdot \text{sin}\theta}{m+I/R^2}$$

Answer 2

Una forma de abordar este tipo de problema es el uso de la conservación de la energía

Vamos a:

• $m=2M$ de la masa total del objeto (líquido+shell)
• $g$ ser la aceleración debida a la gravedad,
• $h$ ser la vertical de la distancia del objeto movido desde el inicio,
• $v$ es la velocidad del objeto hacia abajo de la rampa, y
• $I$ ser el momento de inercia alrededor del centro de masa de la concha.
• $R$ ser el radio de la shell.

Supongo que el shell rollos sin resbalar, y que el líquido no interactúa con los rolling shell. El último es artificial, y, probablemente, podría ser aliviado, a primer orden, por el aumento de los efectivos el momento de inercia de la cáscara y/o incluyendo una fuerza de rozamiento. Dejando a un lado estos, obtenemos

$mgh=\frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 $

$\omega = \frac{v}{R}$

Answer 3

Si el líquido dentro de la cáscara es sin fricción y sin burbujas o chapotear, puede ser tratado como un sólido que no gira, pero resbala justo abajo de la rampa. Esto proporciona un componente de la aceleración instantánea, que se sumarían a la aceleración instantánea de la bola hueca. Me parece que con este método, no es necesario combinar la masa de la cáscara y el agua en un cómputo. Puede combinar los resultados de dos cómputos más sencillos.