encontrar el máximo del valor $c$ tal $ \{ a^2 \} + \{ b^2 \} \leqslant 2 - \frac{c}{(a + b)^2} $

Question

Supongamos que $a, b$ son números positivos y $a + b \in \mathbb{Z} {}_+$ . Encuentre la constante máxima $c$ , s.t. $$ \{ a^2 \} + \{ b^2 \} \leqslant 2 - \frac{c}{(a + b)^2} $$ para todos $a, b$ . Aquí $\{ x \}$ es la parte fraccionaria de $x$ .

Se dice que el $c=\dfrac{3}{4}$ es mejor, pero no veo por qué.

Answer 1

Intento que esto sea intuitivo y narrativo, y tú mismo puedes resolverlo para que sea riguroso.

Veamos por qué $3/4$ debería ser la respuesta óptima. Intuitivamente, si buscamos un par $(a, b)$ de manera que la correspondiente $c$ es grande, entonces $a^2, b^2$ debe ser ligeramente más pequeño y extremadamente cercano a un número entero. Digamos que $a = \sqrt u - \epsilon_1, b = \sqrt v - \epsilon_2$ donde $u, v\in \mathbb Z$ . Ahora que esperamos que las raíces cuadradas jueguen un papel central, recordemos la siguiente propiedad:

Si $\epsilon$ se acerca a cero, $(\alpha \pm \epsilon)^2 \approx \alpha^2 \pm 2\alpha\epsilon$ .

Sin pérdida de generalidad, dejemos que $a \leq b$ . Como estamos solicitando $a+b$ para estar cerca de un número entero, escribimos $\sqrt u + \sqrt v = n+\epsilon$ para un número entero $n$ y tenga en cuenta que $\epsilon$ es ligeramente mayor que $0$ . Si hemos determinado $u, v$ y $n$ ¿Cómo interpretamos $\epsilon$ en términos de $u, v$ y $n$ ? Bueno, vamos a intentar eliminar las raíces cuadradas mediante la cuadratura:

$$ (\sqrt u + \sqrt v)^2 - n^2 \approx 2n\epsilon; $$

por otro lado,

$$ (\sqrt u + \sqrt v)^2 - n^2 = 2\sqrt{uv} - (n^2 - u- v). $$

Como queremos minimizar $\epsilon$ la idea ingenua es dejar que $2\sqrt{uv}$ acercarse a $(n^2 - u - v)$ , de forma equivalente, $uv$ se acerca a $(n^2 - u - v)^2 /4$ . Si $uv$ es un cuadrado, que es un caso especial que ocurre cuando $\sqrt u = m\sqrt v$ Hay que discutir y descartar ese caso. Para el caso general, si $uv$ no es un cuadrado, la menor diferencia es

$$ uv - \frac{(n^2 - u - v)^2}{4} \geq \frac 34. $$

Por lo tanto, aproximadamente $$ 2\sqrt{uv} - (n^2 - u - v) \geq \frac 32 \frac 1{2\sqrt{uv}} = \frac 3{4\sqrt{uv}}. $$

Por lo tanto, aproximadamente $$ \epsilon \geq \frac 3{8n\sqrt{uv}}. $$

Ahora, supongamos que $u, v, n$ y $\epsilon$ son fijos, y queremos ajustar $a, b$ para que $\{a^2\} + \{b^2\}$ alcanza su valor máximo, de forma equivalente, $a^2+ b^2$ se maximiza. Según algunas observaciones, esto ocurre cuando $b - a$ se maximiza. Conceptualmente, cuando $b \to \sqrt v$ y $a \to \sqrt u - \epsilon = n - \sqrt v$ . El desplazamiento entre 2 y $\{a^2\} + \{b^2\}$ será entonces el desplazamiento entre $a^2$ y $\sqrt u^2$ que es aproximadamente mayor que

$$ 2\epsilon \sqrt u = \frac 3{4n\sqrt v}. $$

Si arreglamos $u$ y tomar $v \to \infty$ entonces $\sqrt v/n \to 1$ , por lo que obtenemos

$$ 2 - (\{a^2\} + \{b^2\}) \geq \frac 3{4n^2}. $$

La siguiente pregunta que debemos hacernos es si $3/4$ ¿es realmente la constante óptima? Podemos ver que, toda nuestra optimización se basa de forma equivalente en el hecho de que $v$ es grande. Así que construiremos el triple $(u, v, n)$ para un tamaño arbitrario de $v$ . Esto es algo demasiado difícil; tal vez deberíamos arreglar primero un pequeño $u$ .

La desigualdad que primero implicó $3/4$ es una igualdad sólo cuando $uv = ((2x+1)/2)^2 + 3/4$ para algún número entero $x$ es decir, cuando $uv = x^2 + x + 1$ . Esto es impar, así que tenemos que elegir un impar $u$ . Dejemos que elija $u=3$ .

La reformulación de nuestra pregunta será entonces, ¿cómo elegimos un $\sqrt v$ que es apenas más grande que algunos $n - \sqrt3$ ? De forma equivalente, queremos que algunos $v$ que es ligeramente mayor que algunos $n^2 + 3 - 2n\sqrt3$ . Necesitamos más o menos un número par $e$ tal que $e\sqrt3$ es ligeramente mayor que un número entero. Esto nos sugiere resolver una ecuación de Pell

$$ f^2 - 3e^2 = o, $$

donde $o$ es un pequeño número entero negativo. Tomando la congruencia módulo 4, el más pequeño posible es $o =-3$ .

Las soluciones generales satisfacen $e\sqrt3 - f = \sqrt3(\sqrt3 - 2)^{2m+1}$ . Y, efectivamente, conectando todo el camino de vuelta se obtienen valores $v$ que realmente funciona (¡no es difícil comprobarlo enchufando las relaciones!). Los tres más pequeños $v$ son 127 (de hecho, este es el ejemplo proporcionado por Peter Košinár en el comentario, ya que $24218/2149$ es la fracción continua del séptimo término de $\sqrt{127}$ ), 32137 y 6346711.

Una cuestión interesante será encontrar otras familias de pares $(u, v)$ tal que la constante $3/4$ se acercará. De alguna manera por intuición parece que todos los primos Impares $u$ con $u \ | \ (x^2 + x + 1)$ para algunos $x$ (o, por el contrario, el $(\frac{-3}{u}) \neq -1$ ) tendrá una oportunidad, pero no puedo decir si esto es cierto.

Answer 2

Una prueba completa.

Dejemos que $n=a+b\in\Bbb N\setminus\{0\}$ y $0<a<b$ . Entonces podemos escribir \begin {align} &a_n(x)= \frac n2-x& &b_n(x)= \frac n2+x& \end {align} con $0\leq x<\frac n2$ . Para cada $n$ definir la función \begin {align} &f_n: \left [0, \frac n2 \right ) \to [0,2]& &x \mapsto\ {a_n(x)^2\}+\{b_n(x)^2\} \end {align} Entonces buscamos $$c=\inf_{n>0}\inf_{0\leq x<n/2}(2-f_n(x))n^2=\inf_{n>0}n^2\left(2-\sup_{0\leq x<n/2}f_n(x)\right)$$

Dejemos que $S_n$ sea el conjunto de $x_0\in\left[0,\frac n2\right)$ tal que $\{a_n(x_0)^2\}=0$ o $\{b_n(x_0)^2\}=0$ . Entonces $S_n$ tiene un número finito de elementos y $f_n$ tiene una derivada positiva en cada punto $x\notin S_n$ . En consecuencia, $$\sup_{0\leq x<n/2}f_n=\sup_{x_0\in S_n}\lim_{x\to x_0^-}f_n(x)$$

Tenemos $\{a_n(x_0)^2\}=0$ si y sólo si $a_n(x_0)^2\in\Bbb N$ Por lo tanto $x_0=n/2-\sqrt u$ para algunos $\Bbb N\ni u\leq (n/2)^2$ Por lo tanto $$\lim_{x\to x_0^-}f_n(x)=1+\{(n-\sqrt u)^2\}= \begin{cases} 2-\{2n\sqrt u\}&\sqrt u\notin\Bbb N\\ 0&\sqrt u\in\Bbb N \end{cases}$$ De la misma manera, $\{b_n(x_0)^2\}=0$ si y sólo si $b_n(x_0)^2\in\Bbb N$ Por lo tanto $x_0=\sqrt u-n/2$ para algunos $u\in\Bbb N$ Satisfaciendo a $(n/2)^2\leq u\leq n^2$ Por lo tanto $$\lim_{x\to x_0^-}f_n(x)=\{(\sqrt u-n)^2\}+1= \begin{cases} 2-\{2n\sqrt u\}&\sqrt u\notin\Bbb N\\ 0&\sqrt u\in\Bbb N \end{cases}$$

En consecuencia, obtenemos $$c=\inf_{n>0}\inf_{0<u<n^2\\\sqrt u\notin\Bbb N}n^2\{2n\sqrt u\}$$

Escriba $4n^2u=q^2+r$ con $0\leq r\leq 2q$ . Tenga en cuenta que $\sqrt u\notin\Bbb N$ implica $r\neq 0$ y $q^2+r\equiv 0\pmod 4$ implica $r\neq 1$ y $r\neq 2$ para que $r\geq 3$ . Entonces tenemos \begin {align} n^2{2n \sqrt u\} &=n^2 \left ( \sqrt {q^2+r}-q \right ) \\ &= \frac {n^2r}{ \sqrt {q^2+r}+q} \\ & \geq\frac {n^2r}{2 \sqrt {q^2+r}} \\ &= \frac {nr}{4 \sqrt u} \\ & \geq\frac 34 \end {align} lo que demuestra $c\geq\frac 34$ .

Por último, la maximalidad de $c=\frac 34$ sigue considerando \begin {align} &n=12m^2+1& &u= \left (6m^2+ \frac {21m-5}4 \right )^2+3 \left (6m^2- \frac {11m+1}4 \right )^2& &q=288m^4-36m^3+48m^2-9m+2 \end {align} para $m>0$ y $m\equiv 1\pmod 4$ . Entonces $4n^2u=q^2+3$ y $n^2\{2n\sqrt u\}=n^2\left(\sqrt{q^2+r}-q\right)\to (3/4)^+$ como $m\to+\infty$ .