Evaluar

Question

$$\int\frac{\cot x}{\cos^2 x-\cos x+1}\,\,dx$ $ Indíqueme por qué término debe sustituirse para obtener el resultado de esta integración. Lo intenté usando$\cos x =t$, pero fue mucho más problemático.

Answer 1

Insinuación

Comenzando por$$I=\int \frac{\cot (x)}{\cos ^2(x)-\cos (x)+1}dx$$ and using $ \ cos (x) = t$, $ x = \ cos ^ {- 1} (t)$, $ dx = - \ frac {dt} { \ sqrt {1-t ^ 2}}$, $ \ cot (x) = \ frac {t} {\ sqrt {1-t ^ 2}}$, you should arrive to $$I=-\int\frac{t}{\left(1-t^2\right) \left(t^2-t+1\right)}dt$% #% ps

Estoy seguro de que puedes tomar desde aquí.

Agregado más tarde

También puede usar la sustitución de tangente de ángulo medio (sustitución de Weierstrass) y, usando$ and partial fraction decomposition leads to $, llegar a$\frac{-t}{\left(1-t^2\right) \left(t^2-t+1\right)}=\frac{1-2 t}{3 \left(t^2-t+1\right)}+\frac{1}{2 (t-1)}+\frac{1}{6 (t+1)}$ $, que es incluso más simple que el anterior.

Answer 2

Sugerencia: \begin{align} \int\frac{\cot x}{\cos^2 x-\cos x+1}\;\mathrm dx&=\int\frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\cos^2 x-\cos x+1}\cdot\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x}\;\mathrm dx\\[10pt] &=\int\frac{\cos x}{\cos^2 x-\cos x+1}\cdot\frac{\sin x}{1-\cos^2 x}\;\mathrm dx\\[10pt] &=\int\frac{y}{y^2 -y+1}\cdot\frac{\mathrm dy}{y^2 - 1}\qquad\Rightarrow\qquad\text{set}\;y=\cos x\\[10pt] &=-\frac{1}{3}\underbrace{\int\frac{2y-1}{y^2 -y+1}\mathrm dy}_{\large\color{red}{\text{set}\;t\,=\,y^2 -y+1}}+\frac{1}{2}\underbrace{\int\frac{\mathrm dy}{y-1}}_{\large\color{red}{\text{set}\;u\,=\,y-1}}+\frac{1}{6}\underbrace{\int\frac{\mathrm dy}{y+1}}_{\large\color{red}{\text{set}\;v\,=\,y+1}} \end {align}