Explicar la prueba de que cualquier matriz definida positiva es invertible

Question

Si una $n \times n$ simétrica a es positiva definida, todos sus autovalores son positivos, por lo $0$ no es un autovalor de a $A$. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ no tiene no trivial de la solución, así que a es invertible.

No entiendo cómo saber que $0$ no es un autovalor de a $A$ nos permite concluir que $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ tiene la solución trivial sólo. En otras palabras, ¿cómo podemos excluir la posibilidad de que para todos los $\mathbf{x}$ que no es un autovector de $A$, $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ no tienen un no-trivial solución?

Answer 1

Tenga en cuenta que si$Ax=0=0\cdot x$ para algunos$x\ne 0$ entonces por definición de valores propios,$x$ es un vector propio con valor propio$\lambda = 0$, contradiciendo que$0$ no es un valor propio de$A$. ps

Answer 2

ps

En otras palabras, el determinante es el producto de los autovalores, y solo puede ser cero si al menos un autovalor es cero.

Answer 3

Porque si$Ax=0$ para un porcentaje no nulo$x$, entonces$0$ sería un valor propio.