Confusión en el problema del bebé Rudin 2.16

Question

Tengo dificultades para demostrar el problema 2.16 (concretamente que $E$ está cerrado) en la obra de Rudin Principios del análisis matemático .

Me doy cuenta de que esta pregunta se ha hecho antes aquí pero creo que mi pregunta es lo suficientemente diferente como para justificar una nueva pregunta.

El problema se plantea:

Mira $\mathbb{Q}$ el conjunto de todos los números racionales, como un espacio métrico con $d(p,q) = \vert{p-q}\vert$ . Dejemos que $E$ sea el conjunto de todos los $p \in \mathbb{Q}$ tal que $2<p^2<3$ . Demostrar que $E$ es cerrado y acotado en $\mathbb{Q}$ pero que $E$ no es compacto. Es $E$ ¿abierto?

Mi intento:

Por definición $E$ es cerrado si cada punto límite de $E$ es un elemento de $E$ .

Así, queremos demostrar que si un punto $p$ es un punto límite de $E$ , $p \in E$ Es decir $2<p^2<3$ .

Para ello, dejemos que $p$ sea un punto límite de $E$ .

Entonces sabemos que

$$\forall r> 0, \exists q :d(p,q) < r$$

En otras palabras

$$ \forall r> 0, \exists q : q-r < p < q + r$$

Al elevar al cuadrado la desigualdad se obtiene

$$ q^2-2qr + r^2 < p^2 < q^2 + 2qr + r^2 $$

Por lo tanto, me gustaría encontrar un $r$ tal que $2<p^2<3$ como se desea. Desgraciadamente me está costando mucho construir tal $r$ . ¿Puede alguien indicarme la dirección correcta?

Además, he visto un problema similar a éste, en el que el conjunto $E$ se demuestra que es cerrado mostrando que el complemento de $E$ está abierto. ¿Suele ser éste el camino más fácil? En este caso parece que requiere más trabajo.

Es que me cuesta entender de dónde obtienen los solucionadores su $r$ valores de, parecen salir de la nada...

Answer 1

Demostremos que $E$ está cerrado. Para lograr este resultado, mostraré que $E^C=\left\{q\in\Bbb Q | q^2\lt2 \lor q^2\gt3 \right\}=\left\{q\in\Bbb Q | -\sqrt2\lt q\lt\sqrt2\lor q\lt -\sqrt3\lor q\gt\sqrt3\right\}$ está abierto.

• Si $q\lt-\sqrt3$ entonces, una vez definido $r:=\frac {|q+\sqrt3|}2$ tenemos que $\forall y\in B_r(q)\implies y\lt-\sqrt3$ porque $d(y,q)\lt\frac{|q+\sqrt3|}2\lt |q+\sqrt3|=d(q,-\sqrt3)$ es decir $B_r(q)\subset (-\infty,-\sqrt3)$ .
• Si $-\sqrt2\lt q\lt\sqrt2$ entonces, una vez definido $r:=\min\left\{d(q,-\sqrt2),d(q,\sqrt2)\right\}$ tenemos que $\forall y\in B_r(q)\implies y\in(-\sqrt2,\sqrt2)$ porque $d(y,q)\lt \min\left\{d(q,-\sqrt2),d(q,\sqrt2)\right\}\le d(q,-\sqrt2),d(q,\sqrt2)$ es decir $B_r(q)\subset(-\sqrt2,\sqrt2)$ .
• Si $q\gt\sqrt3$ tenemos el mismo argumento que en el primer caso.

Así que $E^C$ está abierto, por lo que $E$ está cerrado.

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Demostremos que $E$ está acotado. Esto se deduce trivialmente de la definición de $E$ . De lo contrario, supongamos que $E$ no está acotado. Entonces debe existir una secuencia $\left\{p_n\right\}_{n\in\Bbb N}\subset E$ tal que $\lim_{n\to\infty}p_n=\infty$ . Pero $\forall n\in\Bbb N$ tenemos $1\lt\sqrt2\lt |p_n|\lt\sqrt3\lt\infty$ porque $p_n\in E$ Por lo tanto $E$ está acotado.

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Demostremos que $E$ no es compacto. Para ello encontraré una cubierta abierta infinita de $E$ que no tiene una subcubierta finita.

De hecho, si definimos $A_n := \left(-\sqrt3+\frac1n,-\sqrt2-\frac1n\right)\cup\left(\sqrt2+\frac1n,\sqrt3-\frac1n\right)$ para $n\in\Bbb N$ podemos ver que $A:=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\supset E$ pero cualquier subcubierta finita $\overline A$ de $A$ es tal que $\overline A \not\supset E$ . Así, $E$ no es compacto.

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$E$ está abierto, la demostración es similar a la que muestra $E^C$ está abierto, te lo dejo a ti.

Answer 2

Este es un bonito ejercicio y debería resolverse permaneciendo dentro de $\mathbb{Q}$ . Cualquier uso de números irracionales / reales es un exceso y totalmente innecesario.

Primero demuestro que si $p\in E$ entonces $p$ es un punto de acumulación de $E$ y luego demuestro que si $p\notin E$ entonces $p$ no es un punto de acumulación de $E$ . Esto establecerá que $E$ está cerrado en $\mathbb{Q} $ . En lo que sigue suponemos $p>0$ . El argumento para $p<0$ es similar y se deja para el lector.

Dejemos que $q=(3p+4)/(2p+3)$ entonces podemos ver que $$p-q=\frac{2(p^2-2)}{2p+3}>0$$ para que $q<p$ y además $$q^2-2=\frac{p^2-2}{(2p+3)^2}>0$$ para que $2<q^2$ y claramente desde $q<p$ tenemos $q^2<p^2<3$ . Así, $q\in E$ . Si $I$ es cualquier vecindad de $p$ entonces sólo tenemos que elegir cualquier número $r\in I$ tal que $q<r<p$ y luego $r\in E$ . Esto demuestra que $p$ es un punto de acumulación de $E$ .

Además, si $p\notin E$ entonces $p^2<2$ o $p^2>3$ . De nuevo nos ocupamos de $p^2<2$ y dejar el caso $p^2>3$ para el lector. Dejemos que $q=(3p+4)/(2p+3)$ y entonces tenemos $q>p$ y $q^2<2$ . Y por lo tanto cualquier número racional $r$ con $p<r<q$ tiene la propiedad de que $r^2<2$ para que $r\notin E$ . Y si $0<r<p$ entonces también $r^2<2 $ para que $r\notin E$ . Así, $p$ no es un punto de acumulación de $E$ .

De los argumentos de los dos últimos párrafos se deduce que $E$ está cerrado en $\mathbb{Q} $ . Que $E$ está acotado es obvio.

Utilizando argumentos similares podemos demostrar que $E$ está abierto.

Para demostrar que $E$ no es compacto requiere un poco más de esfuerzo. Tenemos que elegir una cubierta abierta para $E$ utilizando el punto $q=(3p+4)/(2p+3)$ como punto límite del intervalo que contiene $p$ . Dejemos que este intervalo se llame $I_p$ . Si cualquier subcubierta finita formada por intervalos $I_{p_1},I_{p_2},\dots, I_{p_n} $ se toma y $s$ sea el menor de los números $q_i=(3p_i+4)/(2p_i+3)$ entonces hay números racionales $r\in E$ con $r<s$ que no están incluidos en ninguno de los intervalos elegidos $I_{p_i}$ . Así, $E$ no es compacto.

Answer 3

Lo sabemos:

• a) $\mathrm{Closed}(A), \mathrm{LimitPoint}(p, A) \implies p \in A$ : Si un conjunto es cerrado y $p$ es un punto límite de la misma, entonces $p$ está contenida en ella.
• b) $(\mathrm{LimitPoint}(p, A) \implies p \in A) \implies \mathrm{Closed}(A)$ : Lo mismo que en a), si es así que si $p$ es un punto límite de $A$ entonces $p$ está en $A$ entonces $A$ está cerrado.
• c) $p \in \mathbb{Q}$ : Cualquier punto es un número racional.
• d) $a, b,c \in \mathbb{R}, a < b \implies \exists c: a < a + c < b$ : Un número real siempre puede estar entre dos números reales $a < b$ .

Así que se puede mostrar la cerrazón de la siguiente manera:

1. $\mathrm{LimitPoint}(p, E)$ : Supongamos que $p$ es un punto límite.
2. $p \notin E$ : Supongamos que $p$ no está en $E$ .
3. $p \notin E \implies p^2 \leq 2 \lor p^2 \geq 3$
4. $p \in \mathbb{Q}, p^2 \leq 2 \lor p^2 \geq 3 \implies p^2 < 2 \lor p^2 > 3$
5. $p^2 < 2 \lor p^2 > 3 \implies p < \sqrt{2} \lor p > \sqrt{3}$
6. $p < \sqrt{2}$ : El RHS de la $\lor$ pueden ser tratados de forma similar.
7. $p < \sqrt{2} \implies \exists r: p + r < \sqrt{2}$
8. $\exists r: p + r < \sqrt{2} \implies \neg\mathrm{LimitPoint}(p, E)$
9. $\bot 1,8 \implies p \in E$ : Las líneas 1 y 8 se contradicen, por lo que podemos concluir lo contrario de la línea 2, que $p$ está contenida en $E$ .
10. $\mathrm{LimitPoint}(p, E) \implies p \in E$ : Resumen del argumento en las líneas 1-9.

Hemos demostrado $\mathrm{LimitPoint}(p, E) \implies p \in E$ por lo que podemos aplicar la regla de b) y concluir que $E$ está cerrado.

Answer 4

Si $c,d\in \Bbb Q$ con $c<d $ entonces $\Bbb Q\cap (c,d)$ es el abierto $d$ -bola en $\Bbb Q,$ centrado en $(c+d)/2\in \Bbb Q,$ de radio $(d-c)/2.$

Dado que ninguno de los $\pm \sqrt 2\;,\pm\sqrt 3\;$ son racionales tenemos $E=\bigcup (S\cup T)$ $$\text {where }\quad S=\{\Bbb Q\cap (c,d): c,d\in \Bbb Q\land -\sqrt 3\;<c<d<-\sqrt 2\;\}$$ $$\text {and where} \quad T= \{\Bbb Q\cap (c,d):c,d\in \Bbb Q\land \sqrt 2\;<c<d<\sqrt 3\;\}.$$ Así que $E$ es una unión de $d$ -Bolas abiertas en $\Bbb Q.$ Así que $E$ está abierto en $\Bbb Q.$

Y $\Bbb Q\setminus E=\bigcup (F\cup G\cup H)$ $$\text {where }\quad F=\{\Bbb Q\cap (c,d):c,d\in \Bbb Q\land d<c<-\sqrt 3\;\}$$ $$\text {and where } \quad G=\{\Bbb Q \cap (c,d):\sqrt 3<c<d\}$$ $$ \text {and where } \quad H=\{\Bbb Q\cap (c,d):c,d\in \Bbb Q \land -\sqrt 2\;<c<d<\sqrt 2\;\}.$$ Así que $\Bbb Q\setminus E$ es una unión de $d$ -Bolas abiertas en $\Bbb Q$ . Así que $\Bbb Q\setminus E$ está abierto en $\Bbb Q.$

$E$ está acotado porque $E$ es un subconjunto de los abiertos $d$ -bola centrada en $0\in \Bbb Q,$ de radio $10^{10}.$