Estoy leyendo a Axler "Linear agebra done right" y en el capítulo 1 habla de los subespacios y la suma directa. Mi pregunta es si existen subespacios de los espacios vectoriales de dimensión infinita, por ejemplo, un espacio funcional de Banach con norma sup $V$ que suman directamente todo el espacio $$V = U_1\oplus U_2$$ (excepto en el caso de los triviales $U_1=\{0\}$ , $U_2 = V$ ).
Respuesta
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Dado un espacio vectorial $V$ cada subespacio tiene un complemento directo. Esto se deduce del hecho de que si $U$ es un subespacio podemos tomar una base de $U$ y completarlo con una base de $V$ .
Sin embargo, a diferencia de la dimensión finita, como generalmente no podemos escribir una base explícita para un espacio vectorial de dimensión infinita, necesitamos utilizar un axioma matemático que garantice la existencia de una. El axioma de elección nos permite construir bases así, y por tanto si lo asumimos -como se hace a menudo en las matemáticas modernas- siempre podemos garantizar que existe un complemento directo a cualquier subespacio de cada espacio vectorial.
Es posible construir universos matemáticos en los que existen espacios vectoriales que no están abarcados por ningún conjunto finito, y que no pueden descomponerse en dos subespacios disjuntos. De hecho, el axioma de elección es equivalente a la afirmación de que en todo espacio vectorial, todo subespacio tiene un complemento directo. Por tanto, el mero hecho de suponer que el axioma de elección falla nos asegura que existe un espacio vectorial que tiene un subespacio sin complemento directo.
Así que lo necesitamos de verdad. Pero a veces, algunos espacios se comportan lo suficientemente bien como para que podamos demostrar que tienen descomposiciones no triviales; o incluso algo demuestra que cada subespacio tiene un complemento directo; o una familia particular de subespacios que tienen una forma particular tienen complementos directos. Pero esto depende mucho del propio espacio.
