En la relatividad especial para cada evento y marco de referencia podemos encontrar un plano de eventos simultáneos.
Me pregunto si es posible hacer lo mismo en el caso general en el espacio curvo. ¿Es la simultaneidad incluso significativa en GR?
Respuestas
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Jim
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La simultaneidad no tiene absolutamente ningún significado en GR. En SR, decimos que la simultaneidad es relativa y no se puede confiar en ella. En GR, ni siquiera decimos eso. Puede que ocasionalmente sorprendas a alguien usando la palabra "simultánea", pero eso no significa lo que piensas. En GR, puedes tomar cualquier evento, cualquier marco de referencia, cualquier conjunto de valores y definir alguna coordenada temporal arbitraria que folie el espacio tiempo de tal manera que casi cualquier cosa sea "simultánea". Entonces, puedes cambiar el indicador y toda la noción de los cambios de tiempo.
Lo que normalmente hacemos es elegir una métrica con algún tiempo coordinado. Entonces podemos "decir" que todos los eventos en el mismo tiempo coordinado son una "hipersuperficie de tiempo constante", que es el equivalente GR de "simultáneo". Sin embargo, se podría elegir algún otro valor dependiente del tiempo. Por ejemplo, en la cosmología inflacionaria, podríamos tener una métrica con algún tiempo coordinado, $t$ y un campo de inflado, $ \phi $ . Podríamos evolucionar a través de la inflación con respecto a la constante $t$ hipersuperficies, pero entonces llamamos al momento en que $ \phi $ alcanza algún valor correspondiente al final de la inflación para ser simultáneo, aunque no sea una constante $t$ hipersuperficie. Hacemos esto porque queremos decir que la inflación termina en todas partes al mismo tiempo, lo que significa que ahora estamos definiendo una constante $ \phi $ hipersuperficie como simultánea. Esto ni siquiera es una diferencia en los marcos de referencia, todo lo que tenemos que hacer es elegir un calibre diferente para nuestra métrica y podemos definir un nuevo concepto de simultaneidad.
Así que para responder a tu pregunta, no, la simultaneidad es una idea sin sentido en el espacio curvo. Lo que utilizamos son hipersuperficies constantes; elegimos un parámetro que tiene una foliación deseada de espacio tiempo y luego cortamos el espacio tiempo de tal manera que cada punto de ese corte tiene el mismo valor del parámetro elegido.
Usted puede definir arbitrariamente un tiempo coordinado y tomar sus hipersuperficies constantes como simultáneas, pero eso es aún menos significativo que en SR.
FenderLesPaul
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Digamos que tenemos una congruencia de observadores con algún campo de 4 velocidades $u^{ \alpha }$ . Localmente cada observador tiene un plano de simultaneidad determinado por la convención de sincronización de Einstein como en SR. Ahora bien, si estos observadores pueden sincronizar sus relojes con sus vecinos infinitesimales, podemos "parchear" estos planos de simultaneidad locales para hacer una familia de un parámetro de superficies de simultaneidad global con una coordenada de tiempo global en la que todos los observadores en la congruencia estén de acuerdo.
Esto es, por lo que sé, lo más cercano a la noción habitual de simultaneidad en los marcos inerciales en SR. Tengan en cuenta que esto no es realmente especial para la GR; uno puede encontrar sutilezas con respecto a la simultaneidad incluso en marcos rotativos en SR por ejemplo.
De todos modos, la condición para que exista tal foliación es la condición habitual de Frobenius que $u_{[ \alpha } \nabla_ { \beta }u_{ \gamma ]} = 0$ .
Andrew Bacon
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Creo que hay algunas nociones de candidatos, pero no es obvio cuál es la correcta.
Se puede hablar de superficies que son por todas partes ortogonales a un campo de matanza como el tiempo.
Si no hay un campo de matanza temporal, siempre se puede hablar de la superficie generada geodésicamente por un vector temporal en $p$ El conjunto de puntos de la geodesia que atraviesa $p$ que son ortogonales a ese vector.
Creo que ambas definiciones te dan planos de simultaneidad en un espaciotiempo plano de Minkowski, pero pueden separarse en un escenario más general.
(La gente a veces habla de superficies caucásicas: superficies que se intersectan cada vez o curva nula exactamente una vez. Pero estas no son equivalentes a los planos de simultaneidad en el espacio de Minkowski).
