Necesita ayuda para resolver el sistema de ODE$\frac{dx}{dt}=2y-z$,$\frac{dy}{dt}=3x-2z$,$\frac{dz}{dt}=5x-4y$

Question

Resuelva el siguiente sistema ODE: $$ \begin{array}{ld} \dfrac{dx}{dt}&=2y-z\\ \dfrac{dy}{dt}&=3x-2z\\ \dfrac{dz}{dt}&=5x-4y \end {array} $$

Intenté resolverlo, pero tengo la sensación de que el problema es incorrecto, pero igual es posible que no pueda resolverlo.

Answer 1

Sugerencia:

El sistema en forma matricial queda:

$$ \dfrac{d \vec x(t)}{dt}= \begin{bmatrix} 0&2&-1\\ 3&0&-2\\ 5&-4&0 \end{bmatrix} \vec x(t)= a \vec x(t) $$

y la solución general puede ser dado en forma exponencial: $$ \vec x(t)=\vec c\,e^{tA} $$ donde $\vec c$ es un vector constante (que puede ser determinada si conocemos las condiciones iniciales) y $e^{tA}$ es la exponencial de la matriz ( ver aquí).

El cálculo de la exponencial de la matriz es relativamente fácil si la matriz es diagonalizable. En este caso, si $A=PDP^{-1}$ $e^A=e^{PDP^{-1}}=Pe^DP^{-1}$ donde $ e^D$ es la matriz diagonal que tiene como elementos de la diagonal de la exponenciales de los elementos de la diagonal de a $D$.

Puedes ver un ejemplo aquí.