¿Por qué la derivada covariante no afecta el valor de expectativa de vacío del campo de Higgs?

Question

Considere el siguiente Lagrangiano de densidad: $$ \mathcal{L}_{1} = (\partial_{\mu}\phi^{*})(\partial^{\mu}\phi)-m^{2}\phi^{*}\phi-h(\phi^{*}\phi)^{2} $$ para el complejo campo escalar $\phi$$h>0$. Puedo obtener el vacío de la expectativa de valor como el mínimo de la densidad Hamiltoniana \begin{align} \mathcal{H}_{1} &= \pi_{\phi}\dot{\phi}+\pi_{\phi^{*}}\dot{\phi^{*}} - \mathcal{L}_{1} \\ &= \frac{1}{c^{2}}|\dot{\phi}|^{2}+|\nabla\phi|^{2}+m^{2}|\phi|^{2}+h|\phi|^{4} \end{align} con respecto a $|\phi|$. Aquí, la canónica momenta son \begin{align} \pi_{\phi} &= \frac{\partial\mathcal{L}_{1}}{\partial\dot{\phi}}=\frac{1}{c^{2}}\dot{\phi^{*}},\\ \pi_{\phi^{*}} &= \frac{\partial\mathcal{L}_{1}}{\partial\dot{\phi^{*}}}=\frac{1}{c^{2}}\dot{\phi}. \end{align} Por la simetría rota caso de $m^{2}<0$, me parece $$ |\phi_{0}| = \sqrt{\frac{-m^{2}}{2h}}. $$ La sustitución de la derivada parcial por la derivada covariante $$ \partial_{\mu}\phi\mapsto D_{\mu}\phi = (\partial_{\mu}-igA_{\mu})\phi. $$ y la adición de la parte libre del campo de vectores $A_{\mu}$, $$ -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}, $$ el Lagrangiano de densidad es $$ \mathcal{L}_{2} = [(\partial_{\mu}+igA_{\mu})\phi^{*}][(\partial^{\mu}-igA^{\mu})\phi]-m^{2}\phi^{*}\phi-h(\phi^{*}\phi)^{2}-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} $$ y puedo obtener una similar densidad Hamiltoniana \begin{align} \mathcal{H}_{2} = &\pi_{\phi}\dot{\phi}+\pi_{\phi^{*}}\dot{\phi^{*}}+(\pi_{A})_{\gamma}\dot{A^{\gamma}} - \mathcal{L}_{2} \\ = &\frac{1}{c^{2}}|\dot{\phi}|^{2}+|\nabla\phi|^{2}+m^{2}|\phi|^{2}+h|\phi|^{4}\\ &+ 2gA^{n}\text{Im}[\phi^{*}(\partial_{n}\phi)]-g^{2}A_{\mu}A^{\mu}|\phi|^{2}-(\partial_{n}A_{\mu})F^{n\mu}, \end{align} donde$\mu\in\{0,1,2,3\}$$n\in\{1,2,3\}$. Aquí, la canónica momenta son \begin{align} \pi_{\phi} &= \frac{\partial\mathcal{L}_{2}}{\partial\dot{\phi}}=\frac{1}{c}\left[\frac{1}{c}\dot{\phi^{*}}+ig\phi^{*}A^{0}\right],\\ \pi_{\phi^{*}} &= \frac{\partial\mathcal{L}_{2}}{\partial\dot{\phi^{*}}}=\frac{1}{c}\left[\frac{1}{c}\dot{\phi}-ig\phi A^{0}\right],\\ (\pi_{A})_{\gamma} &=\frac{\partial \mathcal{L}_{2}}{\partial (\dot{A^{\gamma}})} =-\frac{1}{c}g_{\mu\gamma}F^{0\mu}. \end{align}

Si necesito el vacío expectativa de valor para ser real (similar a la de la central unitaria de calibre) y la negligencia $(\partial_{n}A_{\mu})F^{n\mu}$ como un desplazamiento, no es todavía la contribución $g^{2}A_{\mu}A^{\mu}|\phi|^{2}$ modificando $m^{2}$. Esto cambia el vacío expectativa de valor en la simetría rota caso de $m^{2}<0$ y la hace dependiente en el medidor de campo. Varios libros ("los Campos, las simetrías y los quarks" por Mosel, cap. 9.1; "las Simetrías en la Física" de Ludwig, Flaquear, cap. 14.4.3; "teoría del Grupo de física, Vol. II" por Cornwell, cap. 19.4) afirman, que el vacío de la expectativa de valor ¿ no cambio en comparación con el cemento cola no modificado Lagrange densidad. También se debe no dependen $A_{\mu}$, ya que de lo contrario el medidor de transformación para quitar la masa del bosón de Goldstone afectaría el vacío expectativa de valor.

Pregunta: ¿Cuál es el argumento para el vacío de la expectativa de valor de no depender de el medidor de campo $A_{\mu}$, a partir de la densidad Hamiltoniana $\mathcal{H}_{2}$? Estoy interesado en una más técnica de la solución.

Descargo de responsabilidad: ya he encontrado:

• Determinación del estado fundamental de una teoría de campo
• ¿Cuál es el papel de la aspiradora expectativa de valor en ruptura de la simetría y la generación de masa?

pero tanto la dirección $\mathcal{L}_{1}$.

Answer 1

Buena pregunta; en primer lugar vamos a recapitular el programa de instalación. Encontrar el vevs de campos en el estado es realmente una teoría cuántica de campos que se trate. Sin embargo, en los libros de texto de introducción ignoramos los efectos cuánticos, con la esperanza de que va a ser pequeño, y el tratamiento de todos los campos como la música clásica. Esto es razonable porque si usted no tiene un valor distinto de cero clásica vev, los efectos cuánticos debe venir en una potencia de la serie en $\hbar$ y, por tanto, ser "pequeño". El poder de la serie es realmente en $\hbar g^2$, por lo que este es en realidad un acoplamiento débil aproximación.

En cualquier caso, esto significa que en una teoría de la con $n$ campos, podemos pensar en cada campo como un simple función en el espacio. Siguiente, el gradiente de términos en el Hamiltoniano significa que para minimizar la energía, los campos deben ser constantes. Así el problema se reduce a la minimización de una función simple de $n$ variables.

Sin embargo, el caso de las teorías gauge es más sutil. En primer lugar, hay diferentes clásica configuraciones de los campos que corresponden exactamente al mismo estado físico. Por ejemplo, una configuración donde $A_\mu = 0$ es de calibre equivalente a una configuración de $A_\mu = \partial_\mu \Lambda$ para cualquier función de $\Lambda$, por lo que deben tener la misma energía, incluso a pesar de que éste puede tener una rápida variación espacial. Segundo, vemos que no son términos en $\mathcal{H}$ que son lineales en $\partial_\mu \phi$, por lo que el mínimo de la configuración de energía no tienen necesidad constante de $\phi$.

Estos temas están relacionados, y hacen que sea muy difícil encontrar el clásico mínimo del potencial sin fijación del medidor. No es un clásico mínimo donde $\phi$ es constante e igual a lo que sería sin el medidor de campo, pero es de calibre equivalente a todos los tipos de configuraciones complicadas, donde tanto la $\phi$ $A_\mu$ variar.

Para salir de este lío, tenemos que medir el fix. Tenemos el medidor de transformaciones $$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \Lambda, \quad \phi \to e^{i g \Lambda} \phi.$$ Por lo tanto, podemos optar $\Lambda$, de modo que $\phi$ es real en el momento $t = 0$. Esto hace que el problema de la $A^i \text{Im}(\phi^* \partial_i \phi)$ plazo desaparecer. Ya que todos gradiente términos son ahora cuadrática, la vevs debe ser constante, por lo que tenemos $$\mathcal{H} = m^2 |\phi|^2 + h |\phi|^4 - g^2 A_\mu A^\mu |\phi|^2.$$ Ahora todavía tenemos un problema, porque a $A_\mu A^\mu$ ha indefinido signo, por lo que este potencial no parece limitada a continuación. Pero aún no hemos usado todo el calibre de la libertad, ya que no hemos especificado la dependencia temporal de $\Lambda$. Así que todavía tenemos la libertad para transformar $$A_0 \to A_0 + \partial_0 \Lambda$$ que podemos utilizar para establecer $A_0 = 0$ tiempo $t = 0$. Entonces tenemos $$\mathcal{H} = m^2 |\phi|^2 + h |\phi|^4 - g^2 A_i A^i |\phi|^2$$ que de hecho es positiva definida gracias a la $(+---)$ firma. La minimización de esta función es ahora sencillo, debemos tener $A_i = 0$, y hallar el valor de $|\phi|$ procede como en el descargada caso. Por supuesto, los valores de la vevs será de calibre-dependiente, pero todos los valores de gauge invariante en función de características observables que se derivan de no ser.

Answer 2

VEV en realidad representa una solución a las ecuaciones de movimiento. Simplemente encuentre las ecuaciones de movimiento y establezca todas las derivadas parciales en cero, porque queremos estudiar las conductas de vacío.

Para el 4-potencial, su ecuación de movimiento es$\propto A^\mu|\phi|^2=0$, por lo que su VEV es cero. Es por eso que el VEV de Higgs no cambia.