Demuestre que existe$y\neq 0$ pero$x\cdot y=0$

Question

Me gustaría saber si me estoy perdiendo algo con mi solución - como una versión anterior estaba mal y creo que he conseguido arreglarlo a este problema de Rudin Principios de Análisis Matemático. Cada una de las soluciones que he leído en línea siempre se rompe en dos casos: $k$ a y $k$ extraño que me hace sentir que puedo estar equivocado en algún lugar, como creo que mi solución es mucho más simple, si es correcta.

Problema 1.18 Si $k \geq2$$x \in \mathbb{R}^k$, demostrar que no existe $y \in \mathbb{R}^k$ tal que $y \neq 0$ pero $x \cdot y =0$.

Prueba: Supongamos $x \neq 0$ como de cualquier otra que no sea cero $y$ haría. Si $x = (x_1, \ldots, x_k)$ no es cero, entonces existe un par $x_i \text{ and } x_j$ $1 \leq i < j \leq k$ tal que al menos uno no es cero. Dejando $y = (0_1, \ldots, 0_{i-1}, -x_j, 0_{i+1},\ldots,0_{j-1}, x_i, 0_{j+1},\dots,0_k)$ tenemos $x\cdot y = 0$.

Gracias.

Answer 1

Otro enfoque inductivo: Inducción en$\,k\,$:

ps

Suponer que$$\text{For}\;\;\,k=2:\,(0,0)\neq(a,b)\in\Bbb R^2\implies (a,b)\cdot(-b,a)=0\;\;\wedge\;\;(-b,a)\neq(0,0)$ y mostrar para$\,k-1\ge1\,$: let$\,k\,$:

Si$\;(a_1,...,a_k)\neq (0,0,...,0)\,$ terminamos (¿por qué?), De lo contrario debe ser que$\,\;\exists\,1\leq j\le k-1\;\;s.t.\;\;a_j\neq0\,$. Entonces simplemente elige$\,a_k\neq 0\;\wedge\;\;a_j=0\;,\;j=1,2,...,k-1\,$

Pregunta: ¿dónde pateó la hipótesis inductiva en lo anterior?

Answer 2

Otro enfoque que utiliza ni las coordenadas ni $k$ (la dimensión):

Suponga $x\neq 0$, de lo contrario cualquier $y$ es una solución.

Debido a que la dimensión es dos o más, debe ser $z$ tal que $z\not\in \mbox{span}(\{x\})$. Vamos $$y=z-\frac{x\cdot z}{x\cdot x}x$$

A continuación, $y$ es distinto de cero (de lo contrario $z$ sería un múltiplo de $x$) y \begin{align} x\cdot y &= x\cdot(z-\frac{x\cdot z}{x\cdot x}x) \\ &= x\cdot z-\frac{x\cdot z}{x\cdot x}(x\cdot x) \\ &= x\cdot z-x\cdot z \\ &= 0 \end{align}

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Esta prueba una interpretación geométrica simple: elija cualquiera de los vectores no paralelos a $x$ y restar lo suficiente de $x$, de modo que el resultado es perpendicular a ella. (Me gustaría añadir una imagen, pero no sé de una herramienta adecuada para realizar dicha imagen rápida y agradable.)