Discriminante de un trinomio$x^n+ax^m+b$

Question

Estoy tratando de calcular el discriminante del trinomio$x^n+ax^m+b$.

He intentado usar resultantes pero no puedo ver cómo abordarlo.

¿Algún consejo?

Answer 1

$$x^n+ax^m+b=\prod_{k=1}^{n}(x-\zeta_k) \tag{1}$ $$$ n x^{n-1}+am x^{m-1} = \sum_{h=1}^{k}\prod_{\substack{1\leq k\leq n \\ k\neq h}}(x-\zeta_k)\tag{2}$ $ y evaluando$(2)$ at$x=\zeta_i$ obtenemos:$$ n\zeta_i^{n}+am \zeta_i^{m} = \zeta_i\prod_{\substack{1\leq k\leq n \\ k\neq i}}(\zeta_i-\zeta_k)\tag{3} $ $ o:$$ (am-an) \zeta_i^{m}-b = \zeta_i\prod_{\substack{1\leq k\leq n \\ k\neq i}}(\zeta_i-\zeta_k)\tag{4} $ $ de la cual:$$ \prod_{i<j}(\zeta_i-\zeta_j)^2 = \pm\frac{1}{b}\prod_{i=1}^{n}\left[(am-an)\zeta_i^m-b\right].\tag{5}$ $ Si$M$ es la matriz complementaria de$p(x)=x^n+ax^m+b$,$\{\zeta_i^m\}$ son los valores propios de$M^m$, por lo tanto, el RHS de$(5)$ se puede calcular a partir de% #% ps