Entender cómo usar$\epsilon-\delta$ definición de un límite

Question

Finalmente entiendo la intuición geométrica detrás de la $\epsilon-\delta$ definición de un límite, que en realidad es bastante claro:

Pero estoy teniendo problemas para usar realmente la definición de llegar a una conclusión.

Para (solucionado) ejemplo, para demostrar que $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{3n+5}{2n+7} = \frac{3}{2}$, la siguiente solución:

Prueba:

Deje $a_n = \frac{3n+5}{2n+7}$. A continuación, $\left | a_n-\frac{3}{2} \right |=\frac{11}{2(2n+7)}<\frac{3}{n}$. Dado $\epsilon > 0$, elija $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n_0 > \frac{3}{\epsilon}$. Entonces, para todos los $n \ge n_0, \left | a_n-\frac{3}{2} \right | < \epsilon $. Por lo tanto, $\lim a_n = \frac{3}{2}$.

No estoy muy seguro de haber entendido esta prueba. A saber:

1. De dónde sacaste $\frac{3}{n}$?
2. Supongo que acaba de reemplazar n con $\epsilon$ en la tercera frase.
3. ¿Cómo surgió la cuarta frase seguir a partir de la tercera, y por qué no, que muestran que 3/2 es el límite?

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Así que he probado a mí mismo en otro problema, donde $a_n = \frac{2n+5}{6n-3}$, y el límite de $\frac{1}{3}$:

Deje $a_n = \frac{2n+5}{6n-3}$. A continuación, $\left | a_n-\frac{1}{3} \right |=\left | \frac{6n-6n+15-3}{3(6n-3)} \right |= \left | \frac{12}{3(6n-3)} \right |= 4\left | \frac{1}{6n-3} \right | < \epsilon$. Dividiendo por 4, $\left | \frac{1}{6n-3} \right | < \frac{\epsilon}{4}$.

Y eso es lo que yo lógicamente se... supongo que el siguiente paso es elegir un $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n_0 > \frac{\epsilon}{4}$, y el aislamiento de epsilon, $\epsilon < 4n_0$.

pero como pueden ver, estoy muy perdido.

Answer 1

1. Sólo obligado por hacer el denominador más pequeño y el numerador más grande, este es un truco común en estas pruebas.

$$\frac{11}{2(2n+7)}<\frac{11}{2(2n)}=\frac{11}{4n}<\frac{12}{4n}=\frac3n$$

Estas pruebas tienen DOS PASOS. Básicamente, usted desea hacer el "trabajo de preparación", entonces la prueba. Permítanme escribir esta prueba en su totalidad. El de arriba es el TRABAJO de PREPARACIÓN y en realidad no la prueba.

Prueba: Vamos a $\epsilon >0$ ser dado. Por el Archimedian propiedad de los números naturales, hay algunas $n_0>\frac{3}{\epsilon}$. Por lo tanto si $n>n_0$,$n>\frac{3}{\epsilon}$. Reorganizar da ese $\epsilon>\frac{3}{n}$. Por lo tanto:

$$\epsilon>\frac{3}{n}=\frac{12}{4n}>\frac{11}{4n}>\frac{11}{2(2n+7)}=\left|a_n-\frac{3}{2}\right|$$

Es decir, para todos los $\epsilon>0$ hay algo de $n_0$ tal que para todo $n>n_0$. $|a_n-\frac{3}{2}|<\epsilon$. Esta es la definición de límite, por lo $\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\frac{3}{2}$.

Answer 2

INSINUACIÓN:

Tenga en cuenta que$$\left|a_n-\frac{1}{3}\right|=\left|\frac{2n+5}{6n-3}-\frac{1}{3}\cdot\frac{2n-1}{2n-1}\right|=\left|\frac{2n+5-(2n-1)}{6n-3}\right|=\left|\frac{6}{6n-3}\right|=\left|\frac{2}{2n-1}\right|$ $ Tomando$n_0\ge\max\left(\frac{1}{\epsilon}+1,2\right)$ tenemos la desigualdad, ya que$$n\ge n_0\quad\Longrightarrow\quad\left|a_n-\frac{1}{3}\right|=\left|\frac{2}{2n-1}\right|<\left|\frac{2}{2n-2}\right|=\frac{1}{n-1}<\frac{1}{1/\epsilon}=\epsilon$ $

Answer 3

La parte (1) Esencialmente, quien escribió la prueba quiere obtener un $n$ en el denominador (para ser explicado en breve). Tenga en cuenta que $\frac{11}{2(2n+7)}=\frac{11}{4n+14}<\frac{11}{4n}<\frac{3}{n}$, de modo que tenemos un buen enlazado con $n$ en el denominador.

La parte (2) tenga en cuenta que tenemos $|a_{n} - \frac{3}{2}| < \frac{3}{n}$ pero realmente lo que queremos es mostrar que para cualquier $\varepsilon>0$ hay un $n$ tal que $|a_{n} - \frac{3}{2}| < \varepsilon$. Una manera de mostrar esto es para asegurarse de $n$ es lo suficientemente grande como para que $\frac{3}{n}<\varepsilon$ (me dado $\varepsilon$ y puedo tomar un $n$ así que esto es cierto!). Sin embargo, la reorganización de la desigualdad, la elección de esta $n$ es equivalente a la elección de $n$ tal que $n>\frac{3}{\varepsilon}$.

La parte (3) Supongamos que en (2) que hemos encontrado una $n$, de modo que esto es cierto (es decir, que $\frac{3}{n} < \varepsilon$ para el escogido $\varepsilon$). Sólo por la coherencia de la notación vamos a dejar que esto $n$$n_{0}$. A continuación,$\frac{3}{n_{0}} < \varepsilon$.

Sin embargo ya sabemos que $|a_{n} - \frac{3}{2}| < \frac{3}{n}$ cualquier $n$, por lo que también es cierto para $n_{0}$. I. e. tenemos que $|a_{n_{0}} - \frac{3}{2}| < \frac{3}{n_{0}}$. Desde $\frac{3}{n_{0}} < \varepsilon$ tenemos que $|a_{n_{0}} - \frac{3}{2}| < \varepsilon$.

La clave es que puedo hacer esto para CUALQUIER $\varepsilon$. Me dado realmente pequeño número $\varepsilon$ y no puedo encontrar una $n_{0}$ tal que $|a_{n_{0}} - \frac{3}{2}| < \varepsilon$. POR DEFINICIÓN de límite (ver su texto o en notas de la conferencia), esto implica que el límite de la secuencia de $\{a_{n}\}$$\frac{3}{2}$.

Para la prueba de...

Voy a la estructura de la prueba en la misma forma que la primera prueba.

Tenga en cuenta que

$| a_{n} - \frac{1}{3}| = |\frac{2n+5}{6n-3}-\frac{1}{3}| = \frac{18}{18n-9}\leq \frac{2}{n} < \frac{3}{n}$.

Por lo tanto para cualquier $\varepsilon$ eligió $n_{0}$ tal que $n_{0}>\frac{3}{\varepsilon}$. Entonces tenemos que $| a_{n_{0}} - \frac{1}{3}| < \varepsilon$.

Answer 4

Voy a correr a través de sus preguntas.

1. De dónde sacaste $\frac{3}{n}$?

Es un límite superior en $\left|a_n-\frac{3}{2}\right|=\frac{11}{2(2n+7)}$, y una forma de pop-up es el siguiente:

$$\frac{11}{2(2n+7)}=\frac{11}{4n+14}<\frac{11}{4n}<\frac{12}{4n}=\frac{3}{n}.$$

Se entiende como algo simple, fuga límite superior de la diferencia de $\left|a_n-\frac{3}{2}\right|$.

2. Supongo que simplemente reemplazado $n$ $\epsilon$ en la tercera frase.

Lo que sucede aquí es que debemos elegir algunos de los grandes $n_0\in\mathbb{N}$, de tal manera que $n_0 > \frac{3}{\epsilon}$. Entonces, ciertamente,$\frac{3}{n_0}<\epsilon$, y lo que es más importante, $\frac{3}{n}<\epsilon$ todos los $n\geq n_0$. Por lo tanto, puesto que tenemos que $\left|a_n-\frac{3}{2}\right|<\frac{3}{n},$ también hemos $$\left|a_n-\frac{3}{2}\right|<\epsilon,$$ para todos los $n\geq n_0$. Así que no es que le sustituya$n$$\epsilon$, pero que podemos elegir $n$ tan grande que $\frac{3}{n}$ es menor que el $\epsilon$ dado.

3. ¿Cómo surgió la cuarta frase seguir a partir de la tercera, y por qué no, que muestran que 3/2 es el límite?

Esto se deduce de la definición de los límites. No importa lo $\epsilon>0$ me pongo con el límite de$a_n$$\frac{3}{2}$, si

$$\left|a_n-\frac{3}{2}\right|<\epsilon$$

por lo suficientemente grande como $n$ (en nuestro caso, para $n\geq n_0$. Este es el mismo que $\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\frac{3}{2}$.