¿Las isometrías son los únicos mapas de preservación geodésica en un espacio CAT (0)?

Question

Dado cualquier GATO(0) espacio de $X$, podemos definir un mapa de $s:X\times X\times [0;1]\rightarrow X$, de tal manera que $s(x,y,-)$ es la constante de velocidad geodésica de$x$$y$. Cualquier isometría $f$ $X$ es compatible con el mapa en el sentido, de que $s(f(x),f(y),t)=f(s(x,y,t))$. Entonces uno puede preguntarse si cualquier auto-homeomorphism de $X$, que es compatible con $s$ en el alto sentido ya es una isometría.

Esto es claramente malo para $X=\mathbb{R}^n$, como todos los afín mapas son compatibles con $s$. Así que la pregunta es, si estos son los únicos ejemplos.

Por ejemplo, creo que puedo mostrar, que el $n$-dimensional espacio hiperbólico ($n\ge 2$) es rígido en ese sentido.

EDIT: Debido a la gran cantidad de contraejemplos una mejor podría hacer la siguiente pregunta:

Son los espacios de $\mathbb{R}^n$ el único espacios, que se han auto homeomorphisms compatible con $s$ (en la parte superior de sentido), que no son auto-similitud ?

Answer 1

Si $Y$ es cualquier GATO(0)-espacio, $X:=R^n \times Y$ le dará otro contraejemplo, por lo que se puede restringir a indecomposable $X$.
La siguiente observación es que la unión de los ejes de coordenadas en $R^2$ da otro ejemplo, como lo hace un arbitraria de la unión de líneas a través de la procedencia en $R^n$ con la inducida por la longitud de la métrica.

Otra en el mismo espíritu está dado por el "bosque" obtenida mediante la fijación de una mitad de la línea a cada punto en $R^2$. Tal vez sea cierto eso de que cada auto-similar de GATO(0)-espacio de $(X,d)$, es decir, que es isométrico a $(X,\rho \cdot d)$ algunos $\rho \neq 1$, es un contra-ejemplo?

Answer 2

El mapa que se llame "geodésico de preservar" es usualmente llamado "afín". Parece que afín se asigna a la línea real son bien conocidos, incluso para general la longitud del espacio.

Para su posterior edición: usted siempre puede tomar dos espacios en que se admite la auto-similar mapas y considerar mapa sobre el producto que mover cada coordinar con diferentes coeficientes.

A. Lytchak dice que el siguiente es un conocido pregunta abierta:

Si tales mapa existe, el espacio puede ser embebido en el producto de espacios y el mapa se conserva la estructura del producto.

P. S. El "ejemplo" que me dio antes de que no era un ejemplo.