Permita que$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ sea doblemente diferenciable y$a\in\mathbb{R}$.
Si$f'(a)=f''(a)=0$ pero$a$ no es un punto de inflexión, ¿debe ser$a$ un punto máximo o un punto mínimo?
Respuesta
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Considere la función $$f(x) := \cases{x^5 \sin \left(\frac{1}{x}\right) &for $x \neq 0$ \\ 0 &for $x = 0$ }$$ La invocación de la diferencia del cociente de la definición de derivada se muestra que el $f$ $C^2$ $0$ y $f'(0) = f''(0) = 0$, pero $f$ toma valores positivos y negativos en cualquier (arbitrariamente pequeño) intervalo que contiene a $0$, lo $f$ no tiene ni un mínimo ni un máximo en $x = 0$.
Si se ha definido un punto de inflexión de una $C^2$ función de $g$ a un valor de $a$, de modo que hay algunas intervalo de $I \ni a$ tal que $g''$ es negativo (positivo) en $I \cap \{x < a\}$ y positivo (negativo) a $I \cap \{x > a\}$, entonces podemos ver que $0$ no es un punto de inflexión de $f$ $f''$ también toma valores positivos y negativos en cualquier (arbitrariamente pequeño) intervalo que contiene a $0$.
