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Question

Si$P,Q,R$ son tres$2\times2$ matrices, entonces prueba que$$\det(P+Q+R)=\det(P+Q)+\det(Q+R)+\det(R+P)-\det(P)-\det(Q)-\det(R).$ $

Mi intento : no tengo ni idea de dónde empezar

Answer 1

Aviso para cualquier $A \in M_2(\mathbb{C})$, el polinomio característico tiene la forma

$$\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_2 - A) = \lambda^2 - {\rm tr}(A)\lambda + \det(A)$$

El uso de Cayley Hamilton y tomar traza de nuevo, podemos expresar el factor determinante en términos de la traza:

$$A^2 - {\rm tr}(a) + \det(A) I_2 = 0 \quad\implica\quad \det(A) = \frac12\left({\rm tr}(A)^2 - {\rm tr}(A^2)\right) $$ Para cualquier $A, B \in M_2(\mathbb{C})$, definir un soporte entre ellos por $$\langle A, B \rangle \stackrel{def}{=} \det(A+B) - \det(A) - \det(B)$$ Utilizando la expresión anterior de determinante, es fácil de comprobar:

$$\langle A, B \rangle = {\rm tr}(A){\rm tr}(B) - {\rm tr}(AB)$$

Esto significa que este tipo de soporte es bilineal en términos de sus argumentos. Como resultado, obtenemos

$$\begin{align}\det(P+Q+R) = & \det(P+Q) + \det(R) + \langle P+Q, R \rangle\\ = & \det(P+Q) + \det(R) + \color{red}{\langle P, R \rangle} + \color{blue}{\langle Q, R \rangle}\\ = & \det(P+Q) + \det(R) +\left(\color{red}{\det(P+R) - \det(P) - \det(R)}\right)\\ & \quad + \left(\color{blue}{\det(Q+R) - \det(Q) - \det(R)}\right)\\ = & \det(P+Q) + \det(P+R) + \det(Q+R) - \det(P) - \det(Q) - \det(R) \end{align} $$

Answer 2

SUGERENCIA:

$\det S$ es un polinomio homogéneo de grado $2$ en las entradas de $S$, es decir, una forma cuadrática. Es más fácil probar el hecho general: Si $q\colon V \to W$ es una forma cuadrática, a continuación, $$q(P+Q+R) - q(P+Q)- q(P+R) -q(Q+R) + q(P) + q(Q) + q(R)=0$$

La cosa acerca de la formas cuadráticas, vienen de formas bilineales ( simétrica demasiado, si $char \ne 2$, pero eso no es importante para esto). Así $$q(S) = b(S,S)$$ Sustituto en el anterior, el uso de bilinearity, y observar que todos los términos se anulan.

$\bf{Added:}$ Uno debe tratar de adivinar lo que es la igualdad que tiene para las formas cúbicas, o, más en general, las formas de grado $n$. También está relacionado con la "polarización".

Answer 3

Si$\det(P) = p_{11}p_{22}-p_{21}p_{12}$, thrn

ps

Puedes comenzar de esa manera.

Answer 4

Tenga en cuenta que$(a_1 + a_2 + a_3) (d_1+d_2 + d_3)$ se puede expandir como$$(a_1 + a_2 + a_3) (d_1+d_2 + d_3) \\= (a_1 + a_2 )(d_1+d_2) + (a_2 + a_3)(d_2 + d_3) + (a_1 + a_3)(d_3+ d_1) - a_1 d_1 - a_2 d_2 -a_3 d_3.\tag 1$ $ Del mismo modo,$$(b_1 + b_2 + b_3) (c_1+c_2 + c_3) \\= (b_1 + b_2 )(c_1+c_2) + (b_2 + b_3)(c_2 + c_3) + (b_1 + b_3)(c_3+ c_1) - b_1 c_1 - b_2 c_2 -b_3 c_3.\tag 2$ $ Por lo tanto, si$$P = \begin{bmatrix}a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1\end{bmatrix},$ $$$Q = \begin{bmatrix}a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2\end{bmatrix},$ $ y$$R = \begin{bmatrix}a_3 & b_3 \\ c_3 & d_3\end{bmatrix},$ $ utiliza$(1)$ y$(2)$, podemos mostrar que$$\det(P+Q+R) = (a_1 + a_2 + a_3) (d_1+d_2 + d_3)-(b_1 + b_2 + b_3) (c_1+c_2 + c_3)\\=\det(P+Q) + \det(Q+R) + \det(R+P) - \det(P) -\det(Q) -\det(R).$ $

Answer 5

Respecto a la determinada como la asignación de $\det: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ que es bilineal y una matriz de $A\in \mathbb{R}^{2\times 2}$ como dos vectores \begin{align} \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix} \cong \begin{pmatrix} a_{1,1} \\ a_{2,1} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a_{1,2} \\ a_{2,2} \end{pmatrix} = a_1 ,a_2 \end{align} donde $a_1,a_2$ son vectores en $\mathbb{R}^2$.

Así tenemos $P \cong p_1,p_2$, $Q\cong q_1,q_2$ y $R \cong r_1, r_2$ y empezamos con \begin{align} \det(P+Q+R) = \det(p_1+q_1+r_1,p_2+q_2+r_2) \end{align} tenga en cuenta que una propiedad de bilinearity es $\det (a_1+b_1,a_2) = \det (a_1,a_2)+\det (b_1,a_2)$ analógica y en el segundo argumento. El uso de este sostiene \begin{align} \det(p_1+q_1+r_1,p_2+q_2+r_2) &= \det(p_1+q_1,p_2+q_2+r_2) + \det(r_1,p_2+q_2+r_2)\\ &= \underbrace{\det(p_1+q_1,p_2+q_2)}_{\det(P+Q)} + \det(p_1+q_1,r_2) + \det(r_1,p_2+q_2+r_2) \end{align} Miremos el resto de las partes por separado

• \begin{align}\begin{split} \det(p_1+q_1,r_2) &= \det(q_1+r_1,r_2) + \det(p_1-r_1,r_2)\\ &= \underbrace{\det(q_1+r_1,q_2+r_2)}_{\det(Q+R)} + \det(q_1+r_1,-q_2) + \det(p_1-r_1,r_2) \end{split}\etiqueta{1} \end{align}

• \begin{align}\begin{split} \det(r_1,p_2+q_2+r_2) &= \det(r_1,p_2+r_2) + \det(r_1,q_2) \\ &= \underbrace{\det(p_1+r_1,p_2+r_2)}_{\det(P+R)} + \det(-p_1,p_2+r_2) + \det(r_1,q_2) \end{split}\etiqueta{2} \end{align}

Tenga en cuenta que a partir de la bilinearity tenemos que $\det(a_1,-a_2) = -\det(a_1,a_2)$ añadir el resto de $(1)$ $(2)$ produce \begin{align} \color{red}{\det(q_1+r_1,-q_2)} + \color{blue}{\det(p_1-r_1,r_2)}+\color{blue}{\det(-p_1,p_2+r_2)} + \color{red}{\det(r_1,q_2)} \\= \color{red}{-\det(q_1,q_2)} + (\color{blue}{-\det(p_1,p_2) - \det(r_1,r_2)}) = -\det(P) - \det(Q)-\det(R) \end{align} En total, esto demuestra el deseo de identidad.