Prueba sobre la inclusión de subespacios

Question

Tengo la siguiente pregunta y no estoy seguro de que mi prueba sea correcta/acertada correctamente:

Deje que $V$ ser un $n$ -espacio vectorial dimensional, dejemos que $U_i \subset V$ ser subespacios de V para $i = 1,2, \dots ,r$ donde $$U_1 \subset U_2 \subset \dots \subset U_r$$ Si $r>n+1$ entonces existe un $i<r$ para el cual $U_i = U_{i+1}$

Estaba pensando en algo parecido a: los subconjuntos son estrictos y por lo tanto "se mueven" desde $U_i$ a $U_{i+1}$ aumenta la dimensión en uno, lo que significa que, al alcanzar $U_r$ tu dimensión es mayor que $n+1$ pero esto no es posible ya que $U_r$ es un subespacio de $V$ y por lo tanto tiene dimensión a lo sumo $n$ .

¿Es este un buen enfoque para esta prueba? No estoy seguro por las estrictas inclusiones: ¿es cierto para cada caso que $dim(U_i) < dim(U_{i+1})$ ?

Tal vez estaba pensando en probar esto por inducción, pero no estoy seguro de cómo funcionaría.

Gracias de antemano.

EDITORIAL: Subconjunto actualizado de rigor

Answer 1

Su prueba es (esencialmente) correcta.

En la segunda línea del párrafo que desea

aumenta la dimensión en al menos un

Por ejemplo, considere $$ \{0\} \subseteq \text{$ x $-$ y $-plane} \subseteq \ldots $$ en $\mathbb{R}^3$ .

Es posible que tu instructor quiera que demuestres esa afirmación sobre las dimensiones, o que esté dispuesto a darla por sabida, dependiendo de lo que hayas hecho en clase.

No necesitas la inducción.

Nota: aunque la pregunta que hace es clara, la afirmación

$$U_1 \subsetneq U_2 \subsetneq \dots \subsetneq U_r$$ Si $r>n+1$ ...

no es la forma correcta de expresarlo. Las desigualdades estrictas deberían ser débiles $\subseteq$ . Entonces debes demostrar que al menos uno de ellos es una igualdad.

Answer 2

Sugerencias a raíz de su propio trabajo:

\=== Desde $\;U_k\subsetneq U_{k+1}\;$ , obtenemos que siempre $\;\dim U_{k+1}\ge \dim U_k+1\;$ y desde aquí $\;\dim U_r\ge n\;$ ..

\=== Si $\;W\le V\;$ son espacios lineales de dimensión finita y $\;\dim W=\dim V\;$ entonces $\;W=V\;$ .

Answer 3

Tu idea es muy buena, aunque no está bien expresada; pero también el enunciado no está bien redactado. Enunciémosla correctamente.

Dejemos que $V$ ser un $n$ -espacio vectorial de dimensiones, sea $U_i \subseteq V$ sean subespacios de $V$ para $i = 1,2,\dots,r$ donde $$U_1 \subseteq U_2 \subseteq \dots \subseteq U_r$$ Si $r>n+1$ entonces existe un $i<r$ para lo cual $U_i = U_{i+1}=\dots=U_r$

Demostremos, por inducción en $r$ que, dada una secuencia de subespacios $$ U_1\subsetneq U_2\subsetneq\dots\subsetneq U_r $$ entonces $\dim U_r\ge r-1$ . Sólo utilizamos el hecho de que $U\subsetneq U'$ implica $\dim U'\ge 1+\dim U$ .

Si $r=1$ Esto es trivial. Supongamos que se cumple para $r-1$ . Entonces, por hipótesis de inducción, $\dim U_{r-1}\ge r-2$ y así $\dim U_r\ge (r-2)+1=r-1$ .

Por lo tanto, si tenemos $$ U_1\subseteq U_2\subseteq\dots\subseteq U_r $$ y $r>n+1$ El resultado anterior demuestra que no todas las inclusiones son adecuadas.

Dejemos que $j$ sea el máximo índice tal que $U_{j}\subsetneq U_{j+1}$ (o $j=0$ si todas las inclusiones son igualdades): por el resultado anterior, $j<r-1$ . Ahora, para $i=j+1$ , $U_i=U_{i+1}=\dots=U_r$ .