Imagen de un espacio de Banach

Question

Sea $X$ , $Y$ y $Z$ sean espacios de Banach con $Z \subset X$ . Supongamos que $T$ es un operador lineal acotado con dominio $X$ y alcance $Y$ . Debe $T(Z)$ ¿es un espacio de Banach?

Answer 1

Sea X $Z\oplus Y$ y supongamos que existe un mapa inyectivo $S: Z \to Y$ que tiene un alcance no cerrado. Sea $T(z,y) = S(z)-y$ entonces $T: X \to Y$ es suryectiva, pero $T(Z) = S(Z)$ no está cerrado en $Y$ .