Encontrar la integral indefinida$\int\frac{\sqrt{x+8}}{\sqrt{x-3}-\sqrt{x+3}}dx$

Question

Esta es una pregunta para la tarea, probé muchas sustituciones pero nada funcionó para mí ...

ps

Cualquier pista ayudará.

Gracias.

Answer 1

Según lo sugerido por otros usuarios: $$ \begin{align} \int\frac{\sqrt{x+8}}{\sqrt{x-3}-\sqrt{x+3}}dx&=\int\frac{\sqrt{x+8}(\sqrt {x-3}+\sqrt{x+3})}{(\sqrt{x-3}-\sqrt{x+3})(\sqrt{x-3}+\sqrt{x+3})}dx\\ &=\int\frac{\sqrt{x^2+5x-24}+\sqrt{x^2+11x+24}}{(x-3)-(x+3)}dx \end {align} $$

Ahora deja $t=\sqrt{x^2+5x-24}-x$.

Ya que

$$ \begin{align} t=\sqrt{x^2+5x-24}-x &\Longrightarrow t+x=\sqrt{x^2+5x-24}\\ &\Longrightarrow x^2+2xt+t^2=x^2+5x-24\\ &\Longrightarrow 5x-2xt= t^2+24\\ &\Longrightarrow x(5-2t)=t^2+24\\ &\Longrightarrow x=\frac{t^2+24}{5-2t}\\ &\Longrightarrow dx=\frac{2t(5-2t)-(t^2+24)\cdot (-2)}{(5-2t)^2}dt\\ &\Longrightarrow dx=\frac{10t-4t^2+2t^2+48}{(2t-5)^2}dt\\ &\Longrightarrow dx=\frac{-t^2+5t+24}{2(2t-5)^2}dt \end {align} $$

Por modus ponens sucessive obtienes

ps

Por lo tanto

$$ \begin{align} \int \underbrace{\sqrt{x^2+5x-24}}_{\displaystyle x+t}dx&=\int \underbrace{\left(\frac{t^2+24}{5-2t}+t\right)}_{\displaystyle x+t}\cdot\underbrace{\frac{-t^2+5t+24}{2(2t-5)^2}dt}_{\displaystyle dx} \end {align} $$

A partir de aquí, es un método diferente de integración con el que debe estar familiarizado.

Me gustaría pedirle a otros usuarios que corrijan mis cálculos. Gracias.

Answer 2

Insinuación::

$$\int\frac{\sqrt{x+8}}{\sqrt{x-3}-\sqrt{x+3}}dx$ $$$=\int\frac{\sqrt{x+8}(\sqrt{x-3}+\sqrt{x+3})}{(\sqrt{x-3}-\sqrt{x+3})(\sqrt{x-3}+\sqrt{x+3})}dx$ $$$=\int\frac{\sqrt{x+8}\sqrt{x-3}}{6}dx+\int\frac{\sqrt{x+8}\sqrt{x+3}}{6}dx$ $$$=\int\frac{\sqrt{x^2+5x-24}}{6}dx+\int\frac{\sqrt{x^2+5x+24}}{6}dx$ $$$=\frac{I_1+I_2}{6}$ $$$I_1 = \int\sqrt{x^2+5x-24}$ $$$I_1= \int\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{121}{4}}dx$ $ Sustituir$u = \left(x+\frac{5}{2}\right)dx$$$I_1= \int\sqrt{u^2-\frac{121}{4}}du$ $ Sustituir$\frac{11\sec\theta}{2} = u;du = \frac{11\sec\theta\tan \theta}{2}d\theta$$$I_1= \frac{121}{4}\int\tan ^2\theta \sec \theta d\theta$ $$$I_1= \frac{121}{4}\left[\int\sec^3 \theta d\theta - \int \sec \theta d\theta\right]$ $ Usar la fórmula de reducción$$\int{sec^m \theta} = \frac{\sin \theta \sec ^{m-1} \theta}{m-1} + \frac{m-2}{m-1}\int\sec^{m-2}\theta d\theta$ $

Sustituir y resolver

Answer 3

Sugerencia: si multiplicas una división por$\sqrt{x-3}+\sqrt{x+3}$, el resultado será el siguiente, eliminando la fracción y obteniendo solo dos integrales de una única raíz cuadrada. Eso puede ser más fácil de resolver:$$\int\frac{\sqrt{x^2+5x-24}+\sqrt{x^2+11x+24}}{-6}=\int\frac{\sqrt{(x-3)(x+8)}+\sqrt{(x+3)(x+8)}}{-6}=$ $$$=\frac{-1}{6}\int\sqrt{(x-3)(x+8)}-\frac{1}{6}\int\sqrt{(x+3)(x+8)}$ $