Convergencia puntual, pero no en medida

Question

¿Puede alguien darme un ejemplo de$X_n$ para que$X_n \rightarrow X$ ($X: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$) converja en el sentido de las agujas del reloj, pero$X_n$ no converge a$X$ en la medida?

Answer 1

$ X_n (x): = \begin{cases}1&\mbox{ if }n<x<n+1,\\ 0&\mbox{ otherwise.}\end {cases} $

Si hubiera convergencia en la medida, sería una función nula (tome la restricción a un intervalo acotado). Pero$\lambda\{|X_n|>1/2\}=1$ para cada$n$.