Si usted lee la sección inicial o dos del capítulo por Tate en Cassels y Frolich, él le da una buena explicación de cómo pasar de la clásica formulación en términos de la generalizada ideal de los grupos de la clase w.r.t un módulo, y la formulación más moderna en términos de idele los grupos de la clase. Como Tate explica,
las dos formulaciones son de hecho equivalentes, pero no es tan sencillo como decir que $I^c_K = C_K$. Aquí es un boceto de la equivalencia (por supuesto que es el mismo en Akhil Mathew la respuesta, sólo un poco más detallada):
Desde $I_K^c$ ya ha sido tomada para denotar los ideales primer a $c$ (al menos, así es como yo interpreto sus notation), me deja utilizar a $J_K$ para denotar la ideles para
$K$. Entonces podemos considerar el subgrupo $J_K^c$ de la ideles cuyas entradas son todas las $1$ en cualquier lugar finito dividiendo $c$, y en cualquier infinita lugar.
Entonces existe un natural surjection $J_K^c \to I_K^c$ mediante la remisión de cualquier elemento
$(a_{\wp})$ de la primera a la ideal $\prod_{\wp} \wp^{v_{\wp}(a_{\wp})}$
de este último (donde el producto es el más finito de lugares, es decir, el primer ideales,
$\wp$).
Ahora uno puede mostrar que $K^{\times} J_K^c$ es denso en $J_K$, por lo que
la imagen de $J_K^c$ es denso en $C_K$. Desde $N_{L/K}(C_L)$ está abierto en $C_K$,
vemos que $J_K^c$ surjects en $C_K/N_{L/K}(C_L)$.
Ahora se verifica que este mapa de factores a través de la surjection $J_K^c \to I_K^c$
descrito en el párrafo anterior, y de hecho induce un isomorfismo
$I_K^c/i(K_{c,1}) N_{L/K}(I_L^c) \buildrel \sim \\longrightarrow
C_K/N_{L/K}(C_L de dólares), según sea necesario.
En la práctica, suponga que desea calcular la Artin mapa en un elemento de $J_K$:
el algoritmo primero se multiplica por un director idele, de modo que el elemento resultante es en $J_K^c$ veces $N_{L/K}(C_L)$. (Usted no puede saber exactamente lo que este
es un grupo, pero no es dificil, al menos, identificar a un subgrupo abierto de la misma: por ejemplo, en cualquier complejo infinito lugar $v$ la norma mapa es surjective, en cualquier lugar real $v$ la imagen de la norma mapa de al menos contiene el positivo de reales, y en cualquier lugar finito $\wp$ la imagen de la norma mapa contendrá elementos que son congruentes a $1$ modulo el poder de $\wp$ dividiendo el correspondiente módulo $c$.)
Ahora el Artin mapa en $J_K^c$ factores a través de la surjection $J_K^c \to I_K^c$,
y se calcula sobre el destino de uso de Frobenius elementos.
De hecho, este fue el argumento a través de la cual locales campo de la clase de teoría fue originalmente demostrado; una de ellas tuvo una extensión local, incrustado en un contexto global (de modo que el local original de la situación se dio cuenta de como $L_{\wp}/K_{\wp}$ para algunos abelian
la extensión de los campos de número de $L/K$) y, a continuación, se define el Artin mapa a través del cálculo anterior (lo que significa concretamente que se pasa de la, posiblemente, ramificado
situación en $\wp$ a un examen justo en el unramified de los números primos, donde todo es fácil de entender en términos de ideales y de Frobenius de los elementos).
Por supuesto, entonces uno tenía que comprobar que los resultados de la local de Artin mapa estaba bien definido independiente de la elección de "contexto global".
Hoy en día, se puede definir el local Artin mapas en todos los lugares (unramified o ramificada) en primer lugar. Sin embargo, en las generalizaciones a las que no abelian situación (por ejemplo, local y global de Langlands) generalmente se utiliza la antigua técnica de la prueba de ciertos resultados globales en primer lugar, y luego establecer los locales precisos de los resultados, pasando a una buena elección del contexto global y la reducción a un cálculo en unramified de los números primos. (Esto es un poco de una simplificación excesiva, pero creo que es correcto en el espíritu.) Así que (si uno tiene un objetivo final de la comprensión moderna de la teoría algebraica de números y el programa de Langlands) es bien vale la pena entender el pasaje entre la idelic y el ideal de la teoría de la vista de los puntos en el campo de clase de teoría, y la práctica de cómo utilizar el algoritmo descrito anteriormente.
