Intuición detrás de la fórmula de expansión Heaviside

Question

Hola mi ingeniería eléctrica profesor me dio las fórmulas a la hora de enseñar a resolver circuitos eléctricos usando transformadas de Laplace. Tener un polinomio $Q(s)$ grado $n$ $P(s)$ con grado de $m$ el si $m<n$ y $$F(s)=\frac{Q(s)}{P(s)}$$ then the inverse Laplace transform is given by $$f(t)=\sum_{k=1}^n\frac{P(s_k)}{Q'(s_k)}e^{s_kt}$$ also if $$F(s)=\frac{P(s)}{sR(s)}$$ then $$f(t)=\frac{P(0)}{R(0)}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{P(s_k)}{s_kR(s_k)}e^{s_kt}$$ and $s_k$ son las raíces del polinomio en el denominador. Ahora he estudiado la transformada de Laplace en la clase de matemáticas, sin embargo, mi profesor de matemáticas no demostró ni hablar de las fórmulas. Todo lo que he encontrado en relación con esto, en esta respuesta: https://math.stackexchange.com/a/248355/515527

Podría tal vez me dé algo de intuición o de una prueba para estos teoremas, aunque se utiliza en ingeniería eléctrica creo que yo pueda hacer uso de ella cada vez que tengo que hacer ILT.

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\Re}{Re}\DeclareMathOperator{\Im}{Im}\DeclareMathOperator{\Res}{Res}\def\e{\mathrm{e}}\def\i{\mathrm{i}}\def\d{\mathrm{d}}$, De hecho, su primera fórmula debe ser por $F(s) = \dfrac{P(s)}{Q(s)}$ donde $\deg P < \deg Q$ y todos los ceros de $Q$ son simples, y el segundo debe ser de$$ \mathcal{L}^{-1}(F)(t) = \frac{P(0)}{R(0)} + \sum_{k = 1}^n \frac{P(s_k)}{s_k R'(s_k)} \e^{s_k t} $$ donde $n = \deg R \geqslant \deg P$ y todos los ceros de $s R(s)$ son simples.

Lema:Denotar$$ γ(a, r; θ_1, θ_2) = \{a + r\e^{\i θ} \mediados de θ_1 < θ < θ_2 \},\\ D(a, r) = \{z \in \mathbb{C} \mid \Re z <,\ |z - a| > r \},\\ E(a, r) = \{z \in \mathbb{C} \mid \Im z > 0,\ |z - a| > r \}. $$ Si $f$ es continua en a$D(a, r_0)$$\lim\limits_{\substack{|z| → ∞\\z \in D(a, r_0)}} f(z) = 0$,$$ \lim_{r → ∞} \int\limits_{γ(a, r; \frac{pi}{2}, \frac{3π}{2})} f(z) \e^{z} \,\d z = 0. \quad \forall t > 0 $$

Prueba: Al hacer la sustitución de $w = -\i(z - a)$,$$ \int\limits_{γ(a, r; \frac{pi}{2}, \frac{3π}{2})} f(z) \e^{z} \,\d z = \int\limits_{γ(0, r; 0, π)} f(\i w +) \e^{t(\i w + a)} \,\d w = \e^{ta} \int\limits_{γ(0, r; 0, π)} f(\i w +) \e^{\i tw} \,\d w. $$ Debido a $g(w) := f(\i w + a)$ es continua en a $E(0, r_0)$ e$$ \lim_{\substack{|w| → ∞\\w \ \ en E(0, r_0)}} g(w) = \lim\limits_{\substack{|w| → ∞\\w \ \ en E(0, r_0)}} f(\i w + a) = \lim_{\substack{|z| → ∞\\z \en D(a, r_0)}} f(z) = 0, $$ por Jordania lema,$$ \lim_{r → ∞} \int\limits_{γ(a, r; \frac{pi}{2}, \frac{3π}{2})} f(z) \e^{z} \,\d z = \e^{ta} \lim_{r → ∞} \int\limits_{γ(0, r; 0, π)} g(w) \e^{\i tw} \,\d w = 0. $$

Ahora, de vuelta a encontrar $\mathcal{L}^{-1}(F)$ $F(s) = \dfrac{P(s)}{Q(s)}$ donde $\deg P < \deg Q$ y todos los ceros de $Q$ son simples. $Q$ puede ser escrito como $Q(s) = c \prod\limits_{k = 1}^n (s - s_k)$ donde $c \in \mathbb{C}^*$ $s_1, \cdots, s_n$ son distintos de los números complejos, por lo tanto todas las singularidades de $F$$s_1, \cdots, s_n$. Tomando $a = \max\limits_{1 \leqslant k \leqslant n} \Re s_k + 1$,$$ \mathcal{L}^{-1}(F)(t) = \frac{1}{2\i} \lim_{r → ∞} \int_ {- \i r}^{+ \i} F(s) \e^{ts} \,\d s. \quad (t > 0) $$ Denotar $r_0 = \max\limits_{1 \leqslant k \leqslant n} |s_k|$, $F$ es continua en a $D(a, r_0)$ $\deg P < \deg Q$ implica $\lim\limits_{\substack{|z| → ∞\\z \in D(a, r_0)}} F(z) = 0$. Para cualquier $r > r_0$, por el residuo thorem,$$ \frac{1}{2\i} \int_ {- \i r}^{+ \i} F(z) \e^{z} \,\d z + \frac{1}{2\i} \int\limits_{γ(a, r; \frac{pi}{2}, \frac{3π}{2})} F(z) \e^{z} \,\d z = \sum_{k = 1}^n \Res(F(z) \e^{z}, s_k). $$ Por lo tanto, por el lema,$$ \frac{1}{2\i} \lim_{r → ∞} \int_ {- \i r}^{+ \i} F(s) \e^{ts} \,\d s = \sum_{k = 1}^n \Res(F(z) \e^{z}, s_k). $$ Ahora, tenga en cuenta que $Q'(z) = c\sum\limits_{k = 1}^n \prod\limits_{j ≠ k} (z - s_j)$. Para cada una de las $k$, ya que el $s_1, \cdots, s_n$ son distintos, entonces$$ (z - s_k)F(z) \e^{z} = \frac{P(z)}{c\prod\limits_{j ≠ k} (z - s_j)} \e^{z}$$ es holomorphic en un barrio de $s_k$. Por lo tanto$$ \Res(F(z) \e^{z}, s_k) = \lim_{z → s_k} (z - s_k)F(z) \e^{z} = \frac{P(s_k)}{c\prod\limits_{j ≠ k} (s_k - s_j)} \e^{t s_k} = \frac{P(s_k)}{Q'(s_k)} \e^{t s_k}, $$ donde el último paso es porque $\prod\limits_{j ≠ k'} (s_k - s_j) = 0$$k' ≠ k$. Por lo tanto,$$ \mathcal{L}^{-1}(F)(t) = \sum_{k = 1}^n \Res(F(z) \e^{z}, s_k) = \sum_{k = 1}^n \frac{P(s_k)}{Q'(s_k)} \e^{s_k t}. $$

Para la segunda fórmula, tome $Q(s) = s R(S)$. Desde ceros de $Q$$s_0 = 0, s_1, \cdots, s_n$$Q'(s) = R(s) + s R'(s)$,$$ \mathcal{L}^{-1}(F)(t) = \sum_{k = 0}^n \frac{P(s_k)}{Q'(s_k)} \e^{s_k t} = \frac{P(s_0)}{Q'(s_0)} \e^{s_0 t} + \sum_{k = 1}^n \frac{P(s_k)}{Q'(s_k)} \e^{s_k t} = \frac{P(0)}{R(0)} + \sum_{k = 1}^n \frac{P(s_k)}{s_k R'(s_k)} \e^{s_k t} $$

Answer 2

Si $\deg P < \deg Q$ $Q$ no tiene varios ceros, entonces la fracción parcial de la descomposición de $P/Q$ tiene la forma $$\frac {P(s)} {Q(s)} = \sum_{Q(s_i) = 0} \frac {A_i} {s - s_i}.$$ Supongamos $Q$ es monic. Entonces $$P(s) = \sum_i A_i \prod_{j \neq i} (s - s_j), \\ P(s_i) = A_i \prod_{j \neq i} (s_i - s_j),$$ porque sólo un término en la $P(s_i)$ es distinto de cero. Por otro lado, $$Q'(s) = \sum_i \prod_{j \neq i} (s - s_j), \\ Q'(s_i) = \prod_{j \neq i} (s_i - s_j),$$ y obtenemos $$A_i = \frac {P(s_i)} {Q'(s_i)}.$$ Podemos ver que los coeficientes en la fracción parcial de la descomposición son sin cambios si $Q$ no monic. Entonces $$\mathcal L^{-1} \!\left[ \frac {P(s)} {Q(s)} \right] = \sum_i A_i e^{s_i t}.$$ De $$\mathcal L^{-1} \!\left[ \frac {F(s)} s \right] = \int_0^t f(\tau) d\tau,$$ si $Q(0) \neq 0$, tenemos $$\mathcal L^{-1} \!\left[ \frac {P(s)} {s(Q, s)} \right] = \sum_i \frac {A_i} {s_i} e^{s_i t} - \sum_i \frac {A_i} {s_i} = \\ \sum_i \frac {A_i} {s_i} e^{s_i t} + \frac {P(0)} {Q(0)}.$$