Motivación para anillos de fracciones?

Question

Estoy aprendiendo acerca de los anillos de fracciones y la localización. Me gusta el material mucho y se sienten comprometidos con ella, pero me falta una perspectiva más amplia de las cosas. Por ejemplo, soy consciente de las cosas tales como $S^{-1}A$ es el "mejor" anillo para hacer todo lo $S$ de una unidad (a través de la universal de los bienes), o que la localización en un primer ideal nos da un anillo local.

Sin duda estos son cosas buenas, pero me pregunto si hay un ejemplo relativamente sencillo en la geometría algebraica o la teoría de números que demuestran la utilidad de estas nociones.

(En particular, un comentario común no entiendo pero es a lo largo de las líneas de cómo la construcción de los anillos de fracciones es análogo a "la concentración de la atención a un subconjunto abierto o cerca de un punto." Mi comprensión de la geometría algebraica es todavía muy vaga en este punto y sólo incluye muy hechos básicos acerca de las variedades y su correspondencia con los ideales.)

Answer 1

El uso de la fracción de los anillos se utiliza en los cimientos de la moderna geometría algebraica, es decir, en el esquema de la teoría.
El bloque de construcción básico de esta teoría es el esquema afín $X=\operatorname {Spec}(A)$ asociado a una hoja de anillo conmutativo $A$.
El esquema de $X$ viene con una topología, una base canónica $(D(f))_{f\in A}$para que la topología y, sobre todo, con una gavilla por primicia de los anillos de $\mathcal O_X$ que asocia a cada $D(f)$ el anillo de secciones $\Gamma(D(f),\mathcal O_X)=A_f$ .
La relevancia de la pregunta es que el de arriba anillo es el anillo de fracciones de $A_f:= S_f^{-1}A$ asociado a la multiplicativo monoid $S_f= \{1,f,f^2,f^3,\cdots\}$.
Además de los puntos del espacio topológico $X$ son los principales ideales de la $\mathfrak p\subset A$ y el tallo $\mathcal O_{X,\mathfrak p}$ $\mathcal O_X$ $\mathfrak p$ es el anillo de fracciones de $A_\mathfrak p=S_\mathfrak p ^{-1}A$ donde $S_\mathfrak p$ es el multiplicativo monoid $S_\mathfrak p=A\setminus \mathfrak p$.

Answer 2

Un "ejemplo relativamente simple en teoría de números" es el siguiente. El anillo$A=\mathbb{Z}$ localizado en el ideal generado por un primer$p$%, con$S=A\setminus (p)$, da el anillo$\mathbb{Z}_{(p)}$ de$p$ - números locales, cuya terminación es entero$p$ - números adic$\mathbb{Z}_{p}$%. Su campo de fracciones es el$p$ - números adic$\mathbb{Q}_p$%. Estos son anillos y campos importantes en teoría de números.

Answer 3

Considerar el espacio afín $\mathbb{A}^2$. Se puede demostrar que las funciones regulares en $\mathbb{A}^2$ son los polinomios $k[x,y]$. Ahora considere la curva $Y$ $\mathbb{A}^2$ dado por la ecuación de $x^2-y = 0$. Supongamos que no están interesados en absoluto en esta curva y queremos eliminarlo de nuestro espacio, es decir, queremos trabajar en el interior del conjunto abierto $U = \mathbb{A}^2 - Y$. Es razonable quieres saber cuáles son las funciones regulares en nuestro open $U$. Como uno puede adivinar, las funciones regulares en $U$ son las funciones regulares en $\mathbb{A}^2$, pero ahora son "mejorada", en el sentido de que podemos dividir todo elemento de a $k[x,y]$ con cualquier poder del polinomio $x^2-y$: dado que estamos trabajando fuera de $Y$ esta es una operación válida. Formalmente, el anillo de funciones regulares en $U$ es la localización de $k[x,y]$ en el elemento $x^2-y$.