Expansión asintótica para Fresnel Integrals

Question

Si toma las integrales de Fresnel para ser$$S(x) = \int_{0}^{x}\sin \left(\frac { \pi \cdot t^2}{2} \right) dt$$ How do you find the asymptotic expansion? I know it begins with a $ 1/2 $ pero ¿cómo?

Answer 1

Supongo que quieren un asintótica de expansión como $x\to \infty$. Empezamos con

$$S(x) = \int_0^x \sin \left(\frac{\pi\cdot t^2}{2}\right)\,dt = \frac{1}{2} - \int_x^\infty \sin \left(\frac{\pi\cdot t^2}{2}\right)\,dt.$$

Ahora, para obtener un manejo integral, sustituimos $u = \frac{\pi t^2}{2}$ y obtener

$$\int_x^\infty \sin \left(\frac{\pi\cdot t^2}{2}\right)\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\pi x^2/2}^\infty \frac{\sin u}{\sqrt{u}}\,du.$$

A continuación, queremos un asintótica de expansión de

$$\int_y^\infty \frac{\sin u}{\sqrt{u}}\,du$$

la que podemos obtener a través de la integración por partes:

\begin{align} \int_y^\infty \frac{\sin u}{\sqrt{u}}\,du &= \left[-\frac{\cos u}{\sqrt{u}}\right]_y^\infty - \frac{1}{2}\int_y^\infty \frac{\cos u}{u^{3/2}}\,du\\ &= \frac{\cos y}{\sqrt{y}} - \frac{1}{2}\int_y^\infty \frac{\cos u}{u^{3/2}}\,du\\ &= \frac{\cos y}{\sqrt{y}} - \frac{1}{2}\left(\left[\frac{\sin u}{u^{3/2}}\right]_y^\infty + \frac{3}{2}\int_y^\infty \frac{\sin u}{u^{5/2}}\,du\right)\\ &= \frac{\cos y}{\sqrt{y}} + \frac{\sin y}{2y^{3/2}} - \frac{3}{4}\int_y^\infty \frac{\sin u}{u^{5/2}}\\ &= \frac{\cos y}{\sqrt{y}} + \frac{\sin y}{2y^{3/2}} - \frac{3\cos y}{4y^{5/2}} - \frac{15}{8} \int_y^\infty \frac{\cos u}{u^{7/2}}\,du. \end{align}

Un elemental cálculo muestra que la última integral es $O(y^{-5/2})$ [en realidad, es $O(y^{-7/2})$, como que uno ve cuando el pensamiento acerca de lo que una mayor integración por partes rendimientos], con lo que obtenemos la expansión asintótica

$$\int_y^\infty \frac{\sin u}{\sqrt{u}}\,du = \frac{\cos y}{\sqrt{y}} + \frac{\sin y}{2y^{3/2}} + O(y^{-5/2}),$$

y, por lo tanto, la inserción de $y = \frac{\pi x^2}{2}$,

$$S(x) = \frac{1}{2} - \frac{\cos \frac{\pi x^2}{2}}{\pi x} - \frac{\sin \frac{\pi x^2}{2}}{\pi^2 x^3} + O(x^{-5}).$$

Para obtener mayor orden asintótico de las expansiones de integrar por partes más a menudo.

Answer 2

Usando la serie taylor de seno:

ps

ps

No puedo ver ningún$$\sin\frac{\pi t^2}2=\frac{\pi t^2}2-\frac{\pi^3t^6}6+\ldots\implies$ a menos que$$\int\limits_0^x\sin\frac{\pi t^2}2dt=\int\limits_0^x\left(\frac{\pi t^2}2-\frac{\pi^3t^6}6+\ldots\right)dt=\frac\pi6x^3-\frac{\pi^3}{42}x^7+\ldots$