Cómo hacer una matriz positiva semidefinida

Question

Tenemos una matriz simétrica $A$, con algunas de las entradas especificadas y otras no. Estamos tratando de encontrar los valores de la no especificadas de las entradas, de modo que la matriz de $A$ se convierte en positivo semidefinite. ¿Cómo puedo demostrar que puedo asumir que las entradas de la diagonal de a $A$ son especificados?

Intuitivamente, si no especificamos una diagonal de entrada, decir $i$th la entrada, se puede llevar hasta el infinito. Luego el positivo de la definición de $A$ es igual a la positiva la definición de la nueva matriz $A[-i,-i]$ cuando se retire el $i$th de fila y de columna. No sé cómo mostrar este matemáticamente.

Answer 1

Como consecuencia de Gershgorin del Teorema, sabemos que los autovalores de una matriz $A$ vive en bolas $B(a_{ii},\sum_{j\neq i} |a_{ij}|)$ (centrado en $a_{ii}$ radio $\sum_{j\neq i} a_{ij}$). Así que si la matriz tiene real entradas, pero usted tiene la libertad de elegir la diagonal entradas, entonces la elección de cada diagonal de entrada sea mayor que la suma de los valores absolutos de las otras entradas en la misma fila inmediatamente implica que todos los autovalores de a $A$ son positivas, y, por tanto, que el $A$ es positiva definida.

Answer 2

Su pregunta es vaga sobre el significado de "uno puede asumir que la diagonal entradas de $A$ son especificados". Si te refieres al primer juego de la no especificadas de la diagonal de entradas para algunos de los grandes números, a continuación, determinar el resto para convertir a $A$ positivo semidefinite, usted no siempre tiene éxito. Por ejemplo, considere la posibilidad de $$ A=\begin{pmatrix}1&0&x\\0&1&2\\x&2&z\end{pmatrix}. $$ El primero de los dos líderes principales de los menores de $A$ son claramente positivos. Por lo $A$ es positivo semidefinite iff su determinante es no negativa, es decir, iff $z\ge x^2+4$. Seguramente, cuando $z$ es lo suficientemente grande (en este ejemplo tenemos $z\ge4$), siempre puedes coger un adecuado $x$ que hace $A$ positivo semidefinite, pero la advertencia es que, en general, es difícil saber cómo de grande es lo suficientemente grande.

Tenga en cuenta que el simple uso de herramientas como Gerschgorin disco teorema puede no llegar a cualquier lugar: en el ejemplo de arriba, $a_{22}=1$ es nunca una posición dominante en la diagonal de la entrada en el primer lugar; por lo que no puede garantizar que el $A$ es positivo semidefinite manteniendo los otros dos Gerschgorin discos en la mitad derecha del plano. De hecho, si usted se limita a tratar de hacer los otros dos discos disjunta de $0$, $A$ puede no ser positivo semidefinite, porque no se puede obligar a $z\ge x^2+4$ a partir de los dos desigualdades $|x|\le 1$$z\ge|x|+2$.