Cálculo del límite para una función compuesta

Question

Supongamos que tenemos una función de composición $g(f(x))$, que no está definido en $f(x)=0$. Sabemos que $\lim_{x \to 0} f(x) =0$. Además, sabemos que $\lim_{f(x) \to 0}g(f(x))=L $. $f(x)$ es un bien de comportarse, la función continua; $g(y)$ es similar, solo que simplemente no se define en $y=f(x)=0$.

Me pregunto que si es posible demostrar que el es $\lim_{x \to 0}g(f(x)) = L$. No sé exactamente si es siquiera posible evaluar un límite con un dependiente ($f(x)$ aquí, con $\lim_{f(x) \to 0}g(f(x))=L$) variable, pero parece tan intuitivo que he pensado que puede ser demostrado de un modo riguroso.

Esto es lo que he probado hasta ahora:

En primer lugar, hemos de corregir $\epsilon > 0$; sabemos que hay un $\delta$ que es $|g(f(x))-L| < \epsilon$, siempre que $0<|f(x)|<\delta$. Tomamos un $\delta$. Ahora, tengo que ser capaz de demostrar que para ese $\delta$, $x$ valores que $0 < |x| < \delta' \implies 0<|f(x)| <\delta$ . Ya sabemos $\lim_{x \to 0} f(x)=0$, debido a la definición de este límite, un $\delta'$ siempre existe.

Es mi prueba válida? Si no, ¿cómo este problema puede ser probado o refutado? Gracias de antemano.

Answer 1

Asumiré que la función$g$ está definida en$\mathbb{R}^{\ast}$ y continua en$\mathbb{R}^{\ast}$. Como$\displaystyle \lim \limits_{y \to 0} g(y) = L \in \mathbb{R}$, puede extender$g$ a una función continua$\overline{g}$:

$$ \ forall x \ in \ mathbb {R}, \; \ overline {g} (x) = \begin{cases} g(x) & \text{if } x \neq 0 \\[2mm] L & \text{if } x = 0 \\ \end {cases}. $$

La función$\overline{g}$ está definida y es continua en$\mathbb{R}$. Tenga en cuenta que :

ps

Como$$ \lim \limits_{x \to 0} \big( g \circ f \big)(x) = \lim \limits_{x \to 0} \big( \overline{g} \circ f \big)(x). $ es continuo en$g \circ f$, es continuo en$\mathbb{R}$ y:

ps

Como consecuencia, $0$.