La estrategia óptima para $n=13$ impar es intentar $2,\ldots,n-1=12$ primero, que atrapará al oponente si y sólo si comenzó en un número par; si el oponente aún no es atrapado, uno está seguro de que comenzó en impar y ahora está (después de $n-2=11$ movimientos) en un número par (en particular no en $n=13$ ), e intentar $12,11,\ldots2$ es seguro que la atrapará, para un total de $2*11=2n-4=22$ intentos.
El mismo esquema funciona para $n=12$ incluso: intentar $2,\ldots,n-1=11$ primero, que atrapará al oponente si y sólo si comenzó en un número par; si todavía no lo atrapó, uno está seguro de que lo está ahora (después de $n-2$ movimientos) de nuevo un número impar (en particular no en $n=12$ ), e intentar $n-1=11,\ldots2$ está seguro de atrapar al oponente, para un total de $2*10=2n-4=20$ intentos.
Añadido: Aquí está el análisis completo del juego. Claramente se divide en dos partidas paralelas, una en la que el oponente empieza impar y otra en la que empieza Parejo. El oponente elige un juego al principio y tiene que atenerse a él, pero no sabemos cuál es, así que tenemos que reducir el número de posiciones potenciales restantes en ambos juegos a $0$ . En cada movimiento eliminamos una de las posibles posiciones, pero entonces las restantes posiciones posibles se sustituyen por el conjunto de todas sus vecinas; esto también ocurre en la partida en la que no jugamos. Si se pasa de una partida a otra (jugando la partida $A$ Entonces, al menos una vez el juego $B$ entonces de nuevo juego $A$ ), entonces el antes del segundo movimiento en el juego $A$ el número de posiciones potenciales en el juego $A$ (si el primer movimiento no lo redujo a $0$ ) ha vuelto a crecer hasta alcanzar al menos el mismo número que tenía antes de la anterior mudanza en $A$ Por lo tanto, una estrategia óptima debería evitar este tipo de cambios. Por lo tanto, debemos elegir un juego para jugar primero, terminar ese juego por completo, y luego comenzar a jugar en el otro juego.
Centrándonos ahora en un solo juego (por lo que se conoce la paridad de las posibilidades en cada momento), se puede comprobar que el sólo tipo de movimiento que realmente reduce el número de posibilidades restantes es cuando esas posibilidades forman un "intervalo" (en el sentido de los números de una paridad dada en un intervalo dado) que contiene uno de los extremos del conjunto total: al jugar el otro extremo del intervalo, las posibilidades se reducen a las de la paridad opuesta entre los extremos del intervalo original. (La afirmación "sólo" no es del todo cierta: (1) siempre que las posibilidades se hayan reducido a un único elemento, se puede tocar éste para reducirlo a $0$ y (2) si $n$ es impar y todos los números Impares siguen siendo posibles, su número está destinado a disminuir independientemente de nuestro movimiento. Sin embargo, estas posibilidades son marginales y no afectan a nuestro análisis). Después de una jugada así no se puede volver a reducir el número en la siguiente jugada, pero jugando de nuevo en el mismo extremo del (nuevo) intervalo se puede al menos preparar su disminución en la jugada siguiente.
Hay cuatro tipos de juegos, según la paridad de $n$ y de las posibilidades iniciales. Las dos variantes con $n$ pares son imágenes especulares izquierda-derecha, y el "par inicial" se puede ganar en $n-2$ se mueve jugando $2,3,\ldots,n-1$ . Así que puede el juego "inicial incluso" con $n$ impar. El juego con $n$ impar y posibilidades iniciales impar, sin embargo, necesita $n-1$ jugadas: la primera jugada no hace ninguna diferencia, y luego queda el juego "inicial parejo". Puesto que podemos elegir en qué juego jugar primero, y puesto que para $n$ impar el juego "inicial parejo" requiere un número impar de movimientos, podemos jugar eso primero y haber transformado el otro juego en otro "inicial parejo", así que al final todavía podemos ganar en $2(n-2)$ movimientos, independientemente de la paridad de $n$ .
