¿Cómo se ve un número que está en$\mathbb{Z}\left[\sqrt{14}, \frac{1}{2}\right]$ que no está en$\mathbb{Z}[\sqrt{14}]$?

Question

Sé muy básico fundamentos de la $\mathbb{Z}[\sqrt{14}]$. Los números en los que son de la forma$a + b \sqrt{14}$,$a, b \in \mathbb{Z}$. Cifras como $-3 + \sqrt{14}$$7 - 8 \sqrt{14}$. La norma función es $N(a + b \sqrt{14}) = a^2 - 14b^2$, lo que estoy diciendo no es Euclidiana de las funciones, incluso después de que el valor absoluto de ajuste.

La proposición $4.11$ en este papel por Franz Lemmermeyer

http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/publ/encuesta.pdf

menciona a $\mathbb{Z}\left[\sqrt{14}, \frac{1}{2}\right]$. No creo que jamás he leído acerca de un dominio igual que antes, excepto, quizá, de una manera muy general que los detalles huían de mí.

Estoy adivinando $\mathbb{Z}\left[\sqrt{14}, \frac{1}{2}\right]$ contiene todos los mismos números de $\mathbb{Z}[\sqrt{14}]$, así como algunos otros números. Lo de la forma de los otros números? ¿Cuáles son algunos ejemplos concretos de los otros números?

P. S. la Proposición $4.11$ está en la página $14$ $56$ de los PDF. Parece una brillante encuesta. Necesito imprimirlo y sentarse a leerlo de principio a fin.

Answer 1

Un elemento de este anillo se puede considerar un polinomio en$\frac12$, con coeficientes en$\mathbf Z[\sqrt{14}]$. Al reducir todos los términos al mismo denominador, un elemento finalmente se puede escribir como$$\frac{a+b\sqrt{14}}{2^n} \quad (a,b\in\mathbf Z).$ $

Para los lectores conscientes de las localizaciones , también se puede describir como el anillo de fracciones de$\mathbf Z[\sqrt{14}]$ wrt el subconjunto multiplicativo de potencias de$\frac12$.

Answer 2

Si$a,b \in \mathbb R$, entonces$\mathbb{Z}[a,b]$ es el anillo más pequeño que contiene$a,b$; es lo mismo que el conjunto de todas las expresiones polinomiales en$a,b$ con coeficientes en$\mathbb{Z}$.

Cuando$a=\sqrt{14}$ y$b=1/2$, todas las potencias de$a$ se reducen a un número entero o a un número entero veces$a$. No hay reducción para las potencias de$b$, pero todas las fracciones se pueden reducir al mismo denominador.

Por lo tanto, un elemento típico de$\mathbb{Z}\left[\sqrt{14}, \frac{1}{2}\right]$ es de la forma$\dfrac{u+v\sqrt{14}}{2^n}$, para$u,v \in \mathbb Z$ y$n \in \mathbb N$.