Problema de Cauchy - análisis Real

Question

Estado luchando con esto durante un tiempo ahora, justo la clase de spinning ruedas para mi en este momento. Cualquier ayuda/Consejo/nada apreciada. Este es un problema de introducción de Wade al análisis, capítulo 3.

Supongamos que $f : \textbf{N} \to \textbf{R}$. Si $\lim\limits{n \to \infty}f(n + 1) - f(n) = L$, que$\lim\limits{n \to \infty}\frac{f(n)}{n}$existe y es igual a$L$.

Answer 1

Supongamos que se nos da una $\epsilon \gt 0$. Luego hay un $b=b(\epsilon)$ que si $k\ge b$, $f(k+1)-f(k)$ está dentro de$\epsilon/3$$L$. Esta $b$ se fija a partir de ahora.

Tenga en cuenta que $$(f(b+1-f(b))+(f(b+2)-f(b+1))+\cdots +(f(n)-f(n-1))=f(n)-f(b).$$ En el lado izquierdo tenemos $n-b$ términos cuyos tamaños están bajo control Lo que $$(n-b)(L-\epsilon/3) \lt f(n)-f(b) \lt (n-b)(L+\epsilon/3).$$ Agregar $f(b)$ a cada uno de los tres lados, y dividir por $n$. Tenemos $$\frac{n-b}{n}(L-\epsilon/3)+\frac{f(b)}{n}\lt \frac{f(n)}{n} \lt \frac{n-b}{n}(L+\epsilon/3)+\frac{f(b)}{n}.$$ Llegamos a la conclusión de que lo suficientemente grande como para $n$, $\frac{f(n)}{n}$ es dentro de$\epsilon$$L$. Basta con asegurarse de que $\frac{f(b)}{n}$ está dentro de$\epsilon/3$$0$, y que el plazo $\frac{n-b}{n}$ es lo suficientemente cerca como para $1$.

Answer 2

Supongamos que $a_n \to L$. Que $s_n = \frac{1}{n}(a_1+\cdots+a_n)$, entonces tenemos $s_n \to L$.

Ahora que $a_n = f(n+1)-f(n)$. $s_n = \frac{1}{n}(f(n+1)-f(1))$ Y desde $\frac{f(1)}{n} \to 0$, tenemos $\frac{f(n+1)}{n} \to L$, y desde $\frac{n}{n+1} \to 1$, $\frac{f(n)}{n} \to L$.

A un lado: Para ver que $s_n \to L$, que $\epsilon>0$ y elegir $N$ tal que $|a_n-L|

Answer 3

An=f(n+1)-f(n) luego lim una = L implica lim (A1+A2+...+An)/n=L (por principio de Cauchy) es decir, lim {f(n+1)-f(1)} / n = L, es decir lim {f(n+1)} / n = L

También lim {f(n+1)-f(n)} / n = lim n/L = 0 que da/n lim {f(n+1)}/n=lim{f(n)} por lo tanto la solución.