Sea $A$ una matriz real simétrica de $n \times n$ con valores propios $\lambda_1,\ldots,\lambda_n.$ Encuentra el conjunto de $v \in \mathbb{R}^n$ tal que $$\lim_{k\to\infty}\left^{1/k}$$ existe y encuentra el conjunto de límites posibles.
Dado que $A$ es simétrica, existe una base ortonormal $v_1,\ldots,v_n$ de autovectores de $A$. Sea $\lambda_j$ el autovector correspondiente a $v_j$. Si $v \in \mathbb{R}^n$, entonces $$v = c_1v_1 + \cdots c_nv_n, c_j \in \mathbb{R}.$$ Dado que $ = 0$ para $i \neq j$ y $= 1$ si $i = j$, y $A^{2k}v_j = \lambda_j^{2k}v_j$, por linealidad del producto interno el límite se convierte en $$\lim_{k\to\infty} \left(c_1^2\lambda_1^{2k} + \cdots c_n^2\lambda_n^{2k}\right)^{1/k}.$$ Aquí es donde estoy atascado. No sé cómo evaluar el límite. Intenté tomar logaritmos y usar la regla de L'Hopital, pero solo obtuve otro límite que no pude computar. Dado que $$c_1^2\lambda_1^{2k} + \cdots + c_n^2\lambda_n^{2k} \leq (c_1^{2/k}\lambda_1^2 + \cdots + c_n^{2/k}\lambda_n^2)^k,$$ sé que si el límite existe está acotado por arriba por $\lambda_1^2 + \cdots \lambda_n^2$. Cualquier ayuda para proceder sería genial.
