Primera cofradía ordinal incontable: ¿Necesita CA?

Question

Decir $\omega_1$ es el primer innumerables ordinal. La razón por la que la atención acerca de la $\omega_1$ es

1. Cualquier contables subconjunto de $\omega_1$ es acotado (o si se prefiere, no hay ninguna contables cofinal subconjunto).

Esto es evidente, porque

2. Una contables de la unión de conjuntos contables es contable.

Ahora, me han dicho que no podemos demostrar (2) sin al menos alguna versión débil de CA. Pregunta: ¿(1) también requieren de CA?

Parece posible que algunos ordinalistic magia nos permite ser explícito acerca de la secuencia correspondiente de bijections?

Answer 1

Sí, se requiere el axioma de elección.

Se ha demostrado por Feferman y Levy, como uno de los primeros usos de forzamiento, que es coherente que $\omega_1$ es el contable de la unión de conjuntos contables. Esto significa que hay una contables subconjunto de $\omega_1$ que es ilimitado. Esto es sólo suponiendo la consistencia de $\sf ZFC$. (La idea es simple, para cada una de las $n$ agregar muchos bijections entre el$\omega$$\omega_n$; si usted es lo suficientemente cuidadoso, usted puede asegurarse de que estos son todos los nuevos bijections agregar, y por lo tanto no hay bijection entre el $\omega$ y el "original" $\omega_\omega$, lo cual la hace menos de innumerables ordinal del modelo).

Este resultado fue posteriormente generalizado por Gitik que mostró que, asumiendo adicionales axiomas son consistentes, podemos construir un modelo donde cada límite ordinal es el contable de la unión de pequeños números ordinales. Se ha demostrado que al menos algunos axiomas adicionales son necesarios para un resultado, aunque parece que Gitik original supuestos son probablemente más fuerte de lo necesario.