¿Cuándo un sistema de ecuaciones no tiene solución?

Question

He realizado una eliminación gaussiana en esta matriz para reducirla a

$$ \left[ \begin{array}{@{}ccc|c@{}} -3&-1&2 & 1 \\ 0& \frac{-5}{3}& \frac{10}{3} & \frac{8}{3} \\ 0&0& a+2 & b + \frac{6}{5} \\ \end{array} \right] $$

Pensé que la configuración $a$ igual a $-2$ y teniendo $b$ no es igual a $-\frac{6}{5}$ sería la respuesta a este problema, pero aparentemente no lo es. ¿Podría alguien explicar por qué?

Answer 1

No hay solución cuando la matriz es $\textbf{inconsistent}$ . Esto significa que tendrá una fila cero en su matriz reducida correspondiente a una entrada no nula de la solución deseada, por ejemplo.

$$ \left[ \begin{array}{@{}ccc|c@{}} -3&-1&2 & 1 \\ 0& \frac{-5}{3}& \frac{10}{3} & \frac{8}{3} \\ 0&0& 0 & \text{any non-zero} \\ \end{array} \right] $$

esto es porque la tercera fila implicaría $0*x+0*y+0*z = 0 = c \ne 0$ lo cual es obviamente falso

Answer 2

Dado un sistema de ecuaciones lineales representado por la ecuación matricial: $\mathbf{A}\vec{x}=\vec{b}$ no existe un conjunto único de soluciones para $\det{\mathbf{A}}=0$ .

Por lo tanto, en su caso:

$$\begin{bmatrix}-3 & -1 & 2 \\ 0 & -\frac{5}{3} & \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & a+2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\ \frac{8}{3} \\ b+\frac{6}{5}\end{bmatrix}$$

Así que nos interesa el caso cuando:

$$\begin{vmatrix}-3 & -1 & 2 \\ 0 & -\frac{5}{3} & \frac{10}{3} \\ 0 & 0 & a+2\end{vmatrix}=0 \implies (5a+10)=0\implies a =-\frac{10}{5}=-2$$

Answer 3

Respondiendo al título del post: un sistema lineal $$A x = y,\qquad x\in \mathbb R ^n, y\in \mathbb R ^m$$ admite soluciones si y sólo si la matriz $(A\vert y)$ que se obtiene al yuxtaponer la columna $y$ y la matriz $A$ tiene el mismo rango de $A$ sí mismo.

Esto sucede si y sólo si $y$ es una combinación lineal de las columnas de $A$ . Geométricamente, esto significa que $y$ se encuentra en la imagen del mapa lineal $x\mapsto Ax$ .