En la demostración del Teorema de Categoría de Baire en el libro de Kreyszig, se menciona que un espacio métrico completo contendrá un conjunto abierto no vacío. Me gusta saber la prueba de esto.
Respuesta
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Jonah1289
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No existe un espacio métrico $(X,d)$ donde $|X|>1$, en el que cada subconjunto abierto está vacía.
Cada espacio métrico es un Hausdorf espacio así, si no existía el espacio entonces para cualesquiera dos puntos distintos $x,y \in X$ no seríamos capaces de encontrar dos abiertos disjuntos conjuntos, que contienen $x$$y$, respectivamente,para separar de ellos.
Por tanto, la existencia de un espacio métrico contradice la Hausdorf propiedad de la métrica de los espacios.
No necesitamos ni la integridad de $X$
Ahora si $X=\{x\}$, entonces la única subconjunto de este espacio es el conjunto vacío.
Este espacio cumple la Baire teorema debido a que el único denso y abierto subconjunto de $X$ es el espacio $X$ sí.
Por lo tanto la forma de cada secuencia de apertura y subconjuntos densos en $X$, es una constante secuencia $U_n=\{x\}$ cuando la interestion es $\{x\}=X$
Tenga en cuenta que en este espacio el conjunto vacío no es denso porque es cerrado, por tanto, su cierre(como el menor conjunto cerrado que contiene) es el conjunto vacío.
En cada espacio métrico todo el espacio y el conjunto vacío están cerrados y abiertos.
