Hace$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x^2-1)}{(x-1)^2}dx$ converger absolutamente; ¿converger?

Question

Este es un auto-examen de ejercicio en mi libro de texto, he sido incapaz de resolver:

Qué $\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x^2-1)}{(x-1)^2}dx$ convergen absolutamente? Convergen?

Traté de separar la integral de a $\int_{0}^{1}\frac{\sin(x^2-1)}{(x-1)^2}dx+\int_{1}^{\infty}\frac{\sin(x^2-1)}{(x-1)^2}dx$. Intuitivamente parece que puede utilizar la prueba de comparación para mostrar $\int_{0}^{1}\frac{\sin(x^2-1)}{(x-1)^2}dx$ no convergen absolutamente/converger? Así que la respuesta es un doble no. Pero la intuición no es una prueba, por desgracia, así que estoy atascado...

En cualquier caso, ¿alguien puede explicar cómo esta cuestión se puede resolver?

Gracias

Answer 1

Sugerencia: como$x \to 1$,$\frac{\sin(x^2-1)}{(x-1)^2} \sim \frac{2}{x-1}$ usando$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}$.