Mostrando$\cos^{10}x\le 1-x^2$ para$x$ en$[0,0.5]$

Question

Tengo que probar esta desigualdad:

ps

¿Hay alguna manera fácil y / o elegante de hacer esto? Puedo hacer esto con Taylor, pero es realmente un desastre. :(

Gracias por adelantado

Answer 1

Tenga en cuenta que

ps

y

• $ 10 \ log \ cos x \ le 10 \ log (1 \ frac12x ^ 2 + \ frac1 {24} x ^ 4) \ le-5x ^ 2 + \ frac5 {12} x ^ 4 \ quad$$\cos(x)^{10}\le 1-x^2\iff 10\log\cos x\le\log (1-x^2)$ \ log (1-x) <x $
• $ by $ por probar

y desde

ps

la desigualdad está probada.

Probar

• $\log (1-x^2)\ge-x^2-x^4$

considerar

• $$-5x^2+\frac5{12}x^4\le -x^2-x^4 \iff4x^2-\frac{17}{12}x^4\ge 0\iff x^2(4-\frac{17}{12} x^2)\ge 0\\\iff -\sqrt{\frac{48}{17}}\le x\le \sqrt{\frac{48}{17}}$

y tenga en cuenta que

• $\log (1-x^2)\ge-x^2-x^4$
• $g(x)=\log (1-x^2)\ge+x^2+x^4$ y para $g(0)=0$

y por lo tanto$g'(x)=\frac{2x^3-4x^5}{1-x^2}$ para$g'(x)>0$.

Answer 2

Aquí es una respuesta parcial.

Nos ha $\cos x \leq 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ todos los $x$ debido a que el coseno de la serie es alterna.

Por lo tanto, es suficiente para demostrar que $\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right)^{10} \le 1 -x^2$$x \in [0,0.5]$.

Es fácil comprobar que $f(x)=1 -x^2-\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right)^{10} $ tiene un mínimo local en a $x=0$ y $f(0)=0$.

La parte difícil es demostrar que $f(x)\ge 0$$x \in [0,0.5]$. Como podemos ver en el siguiente gráfico, el máximo local es después de $x=0.5$, pero esto parece más difícil de probar.

Answer 3

Para demostrar$$ 10\log\cos x\leq \log(1-x^2)\qquad \text{for }x\in\left[0,\tfrac{1}{2}\right]$ $, es suficiente mostrar$$ 5 \tan x \geq \frac{x}{1-x^2} \qquad \text{for }x\in\left[0,\tfrac{1}{2}\right] $ $ y luego usar la integración de termwise. Por otro lado,$5(1-x^2)\tan(x)$ es una función cóncava (log-) en el intervalo dado, por lo tanto su gráfico se encuentra por encima de la línea secante a través de$(0,0)$ y$\left(\frac{1}{2}, \frac{15}{4}\tan\frac{1}{2}\right)$:$$ 5(1-x)^2 \tan(x) \geq \frac{15}{2}\tan\left(\frac{1}{2}\right) x\geq\frac{15}{4}x\geq x $ $ y la desigualdad original (que resulta bastante suelta lejos del origen) queda demostrada.

Answer 4

Respuesta parcial.

Es igual a$(1-\sin^2x)^5\leq 1-x^2$.

$LHD≒1-5\sin^2x<1-x^2$, a $x≒0$.

Como$\sin x \leq x $, debe mantenerse en$x=0.5$.

$LHD≒0.27$

$RHD=0.75$