Integral de$\sin(x)\exp(-a/\sin x)$

Question

Estoy buscando una forma de evaluar$$\int_0^\pi\sin x \exp(-a/\sin x)dx$$ to get a second order Bickley function $ K_2 (a)$, which is basically the same integral, but $ \ cos x$ instead of $ \ sin x$ and the limits change from $ 0$ to $ \ pi / 2 $, lo cual es comprensible.

Estoy un poco perdido qué tipo de sustitución de variables podría hacer. ¿Alguna sugerencia? He intentado$-a/\sin x = u$, pero eso no parece dar resultados razonables. ¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Elaborando mi comentario.

Aunque ahora considero que los límites son de$0$ a$\pi/2$, por lo que la función final debería multiplicarse por$2$.

Sustitución:$$u=\frac{1}{\sin x}$ $

hace la integral:

ps

Esto hace que sea obvio que:

ps

Donde las condiciones iniciales se pueden encontrar fácilmente a partir de la integral original:

ps

¿$$f(a)=\int_1^\infty e^{-a u} \frac{du}{u^2 \sqrt{u^2-1}}=\int_0^\infty \frac{dt}{\cosh^2 t}e^{-a \cosh t}$ Tiene un formulario cerrado? Probablemente no sea agradable. Siempre podemos usar métodos numéricos.