¿Por qué se define la fórmula de Euler para valores no enteros?

Question

Dígalo para un número complejo$w$

ps

Ahora eleve ambos lados a$$e^{wi} = a$.

ps

Ahora$1/4$ tiene un único valor definido. Sin embargo,$$e^{wi/4} = a^{1/4}$ puede tener múltiples valores. Entonces, ¿por qué la fórmula de Euler está bien definida para las potencias no enteras, ya que las potencias no enteras pueden arrojar valores múltiples?

Answer 1

La función exponencial$\exp$ tiene un valor único. Las potencias no enteras son funciones multivaluadas definidas por$a^b = \exp(b \log a)$, usando cualquier rama del logaritmo. En particular,$\exp(iwb)$ es solo un posible valor de$(\exp(iw))^b$. Dado que$\log(\exp(iw)) = iw + 2 \pi i n$ para entero arbitrario$n$, el resultado completo es$$ \left(\exp(iw)\right)^b = \exp((iw + 2 \pi i n) b) = \exp(iwb + 2 \pi i n b) = \exp(iwb) \exp(2\pi i n b)$ $ En particular, cuando$b=1/4$ hay cuatro valores, correspondientes a$e^{2\pi i n/4} = 1, i, -1, -i$.

Answer 2

Si$e^{wi} = a$, entonces$e^{(w+2\pi n)i} = a$ para cualquier entero$n$.

Aumentando el$1/4$ power, $ a ^ {1/4} = (e ^ {(w +2 \ pi n) i}) ^ {1/4} = e ^ {i (w / 4 + \ pi n / 2)} $.

Answer 3

Dependiendo de la orden pedagógico, este fenómeno de multivaluedness es realmente una consecuencia de la periodicidad. Es decir, no hay una periodicidad subyacente en la fórmula, que no es inmediatamente evidente, y es heredado de la periodicidad de las funciones trigonométricas (es decir, si usted aprende acerca de la complejidad exponencial a través de DeMoivre de la fórmula, que no es un hecho dado, teniendo en cuenta Walter Rudin del prólogo a la Real y el Análisis Complejo).

Recordemos la fórmula de Euler $$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta.$$ From this, we can immediately deduce that the complex-valued mapping $f : \mathbb C \to \mathbb C$, $f(z) = e^$, is periodic with period $2\pi i$: $$f(z + 2\pi i k) = f(z)$$ for all $k \in \mathbb Z$. So this periodicity is what leads to the inverse mapping, the complex logarithm $$f^{-1}(z) = \log z$$ to be "multivalued" (i.e., "one-to-many"). As there are infinitely many complex numbers whose exponentials are equal--explicitly, the set $S = \{z + 2 \pi i k \a mediados de k \in \mathbb Z\}$ all map to the same value $w = e^$ under $f$--then, for a general complex number $w$, there are infinitely many preimages whose exponential equals $w$.

Ahora, lo mismo ocurre con la (compleja) potencias de números complejos, porque tenemos $$z^w = e^{w \log z}.$$ When $w$ is an integer there are no issues: since $$\log z = \log|z| + i \arg(z) + 2 \pi i k,$$ multiplying by an integer $w$ causes the $2\pi i k$ term to remain an integer multiple of $2\pi i$, and the multivaluedness introduced by the logarithm is canceled by exponentiation. But when $w$ no es un número entero (o no es real), entonces esto no ocurre y tenemos una esencia varios valores de asignación.