¿Por qué la función Gamma satisface una ecuación funcional?

Question

En la pregunta #7656, Peter Arndt preguntó por qué la función Gamma completa la función zeta de Riemann en el sentido de que hace que la ecuación funcional sea fácil de escribir. Varias de las respuestas fueron desde la perspectiva de la tesis de Tate, que realmente no tengo el fondo para apreciar todavía, así que estoy pidiendo otra perspectiva.

La perspectiva que quiero es algo así: la función zeta de Riemann es un producto de las funciones zeta locales de un punto sobre cada primo finito $p$ , por lo que la función Gamma debería ser la "función zeta local de un punto en el primo infinito".

Pregunta 1: ¿Puede precisarse esta intuición sin la maquinaria de la tesis de Tate? (No pasa nada si crees que la respuesta es "no", siempre y cuando me convenzas de por qué debo tratar de entender la tesis de Tate).

Multiplicando las funciones zeta locales para los primos finitos e infinitos juntos, obtenemos la función Xi, que tiene la bonita ecuación funcional. Ahora, como aprendí de la obra de Andreas Holmstrom excelente respuesta a mi pregunta sobre las ecuaciones funcionales para las funciones zeta locales en primos finitos la ecuación funcional

$$\zeta(X,n-s) = \pm q^{ \frac{nE}{2} - Es} \zeta(X, s)$$

(la notación se explica en el artículo de Wikipedia ), que para un punto no es más que la declaración $\frac{1}{1 - p^s} = -p^{-s} \frac{1}{1 - p^{-s}}$ refleja la dualidad de Poincare en la cohomología etale, y la esperanza es que la ecuación funcional para la función Xi refleje la dualidad de Poincare en alguna "teoría de cohomología aritmética" conjetural para esquemas sobre $\mathbb{Z}$ (o quiero decir $\mathbb{F}_1$ ?).

Pregunta 2: ¿Puede interpretarse la fórmula de reflexión de la función Gamma como "dualidad de Poincare" para alguna teoría de cohomología de un punto "en el primo infinito"? (¿Es esta pregunta tan difícil de responder como la más general sobre la cohomología aritmética?)

Answer 1

Sus preguntas forman parte de lo que Deninger lleva escribiendo desde hace 20 años. Ha propuesto un punto de vista que explica muchas cosas sobre las funciones zeta. Es importante decir que esta explicación es más bien una física teórica que una matemática, en el sentido de que, según tengo entendido, ha predicho muchas cosas nuevas que él y otras personas han demostrado después utilizando matemáticas reales. Supongo que es como el yoga que rodea a las conjeturas de Weil antes de que Dwork y Grothendieck hicieran teorías de cohomología reales que tuvieran la oportunidad de hacer el trabajo (y finalmente lo hicieron). Para mí está bastante claro que ha puesto el dedo en algo, pero todavía no sabemos qué.

Permítanme que intente decir algunas cosas. Pero también debo decir que nunca me preocuparon demasiado los detalles, porque los detalles que tiene son sobre una imagen inventada, no la real. (Si tuviera la realidad, todo el mundo se quedaría sin trabajo). Así que mi comprensión de las matemáticas reales en sus documentos es bastante limitada.

Pregunta 1: Da algunas pruebas de que los factores de Euler en lugares finitos e infinitos deben verse como polinomios característicos zeta-regularizados. Para la función Gamma habitual, véase (2.1) en [1]. Para los factores Gamma de los motivos generales, véase (4.1) en [1]. Para los factores de Euler en los lugares finitos, véase (2.3)-(2.7) en [2]. Da una descripción que funciona simultáneamente en los lugares finito e infinito en (0.1) de [2]. Hay que tener en cuenta que parte de esto se basa en una teoría de cohomología artificial que está diseñada para hacer las cosas uniformes en los lugares finitos e infinitos. (De hecho, a riesgo de hablar por él, probablemente el objetivo era ver cómo sería una teoría de cohomología uniforme de este tipo, por lo que quizás algún día podamos encontrar la verdadera).

Pregunta 2: Espera que su teoría de cohomología tenga una dualidad de Poincare que sea "compatible con respecto a la ecuación funcional". Véanse las observaciones y referencias en [3] entre las proposiciones 3.1 y 3.2.

Te recomiendo que eches un vistazo a [3]. Es principalmente expositivo. Además, recuerdo que [4] es una buena exposición, pero ahora no lo tengo delante, así que no puedo decir mucho. También repasa cosas en la sección 2 de su reciente documento Archive [5].

[1] "Sobre los factores gamma adjuntos a los motivos", Invent. Math. 104, pp 245-261

[2] "Factores L locales de motivos y determinantes regularizados", Invent. Math. 107, pp 135-150

[3] "Algunas analogías entre la teoría de los números y los sistemas dinámicos en espacios foliados", Actas del ICM, Vol. I (Berlín, 1998), pp 163-186

[4] "Evidence for a cohomological approach to analytic number theory", First ECM, Vol. I (París, 1992), pp 491-510

[5] "La estrategia Hilbert-Polya y los emparejamientos de altura", arxiv.org

Answer 2

No soy un experto, pero permítanme hacer algunas conjeturas sobre las respuestas.

P1) Me inclino por el "no". Creo que es precisamente la tesis de Tate la que muestra que el factor gamma de la zeta de Riemann puede interpretarse como un factor local análogo a los factores locales habituales en los primos finitos. Sin embargo, permítanme subrayar absolutamente que no es necesario leer todos los detalles técnicos de la tesis de Tate para entender completamente el análogo. Cualquier función sobre un campo local (incluyendo $\mathbf{Q}_p$ y $\mathbf{R}$ ) tiene una transformada de Fourier, que es otra función de este tipo. Si se normalizan las cosas de forma sana, entonces la función característica de $\mathbf{Z}_p$ es su propia transformada de Fourier, y hay una función estándar en $\mathbf{R}$ que es su propia transformada de Fourier. Ahora haz una cierta integral explícita a estas funciones--el mismo tipo en ambos casos--esto está en la tesis de Tate. En la $p$ -el lado de la adicción que obtienes $(1-p^{-s})^{-1}$ y en el lado real se obtiene el factor Gamma correcto. Nada de esto es un misterio en realidad y en realidad es sólo rascar la superficie de la tesis de Tate (cuya carne es la ecuación funcional, ¡no la definición!). De hecho, hagámoslo ahora.

Así que $k$ es $\mathbf{Q}_p$ o $\mathbf{R}$ y $\mu^*$ es una medida de Haar en $k^*$ . Ahora bien, si $f$ una función en $k$ definamos $$\zeta(f,s)=\int_{k^\times}f(t)|t|^s d\mu^*$$ (la integral debe ser superior a $k^\times$ ) Calculemos ahora esta integral para algunas opciones de $f$ , $k$ . Si $k=\mathbf{Q}_p$ et $f$ es la función característica de $\mathbf{Z}_p$ (que resulta ser su propia transformada de Fourier) y $\mu^*$ se normaliza para que $\mathbf{Z}_p^*$ tienen medida 1, entonces la integral es (rompiendo $\mathbf{Z}_p\backslash\{0\}$ en una suma de $p^m\mathbf{Z}_p^\times$ para $m\geq0$ ) $$\zeta(f,s)=\sum_{m\geq0}p^{-ms}=(1-p^{-s})^{-1}.$$

Ahora intentemos otro ejemplo: dejemos que $f$ sea $e^{-\pi x^2}$ que es su propia transformada de Fourier, dejemos que Haar mida en $\mathbf{R}^\times$ sea $dx/|x|$ y calculemos la integral. Se hace en la p317 de la tesis de Cassels-Froehlich---Tate: tenemos que calcular $$\int_{x\in\mathbf{R}}e^{-\pi x^2}|x|^{s-1} dx$$ que se comprueba fácilmente que es $\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)$ .

P2) Creo que aquí hay un malentendido (quizás mío, quizás tuyo). La ecuación funcional global refleja la dualidad de Poincare en el caso del campo de funciones. Realmente no veo una ecuación funcional local para $(1-p^{-s})^{-1}$ así que no sé realmente lo que estás preguntando.