Suma de una raíz cuadrada de piso

Question

Estoy trabajando en una pequeña cosa y me he encontrado con una especie de bloqueo. He llegado a esta ecuación: $$\sum_{n=1}^{r}\left\lfloor\sqrt{2nr-{n}^{2}}\right\rfloor$$

Estoy intentando encontrar alguna forma de resolver este sumatorio en función de r. Si esto es posible, ¿podría recibir ayuda?

Además, por favor, no marquen esto como un duplicado; he buscado en las preguntas existentes y he tenido problemas para encontrar una respuesta.

Gracias por cualquier ayuda :)

Answer 1

Podemos reescribir su suma de la siguiente manera. $$f(r)=\sum_{n=1}^{r} \lfloor \sqrt{2nr-n^2} \rfloor = \sum_{n=1}^r \lfloor \sqrt{r^2-(r-n)^2} = \sum_{n=0}^{r-1} \lfloor \sqrt{r^2-n^2} \rfloor$$ Así, esto cuenta el número de enteros gaussianos $z=a+bi$ Satisfaciendo a $|z|\le n$ , $a>0$ , $b\ge 0$ .

Esto es http://oeis.org/A036698 .

Contar enteros gaussianos con norma $|z|\le n$ es conocido como el Problema del círculo . Sólo disponemos de límites, no de fórmulas exactas. Podemos demostrar que $$f(r) = \frac{\pi}{4} r^2 + O(r).$$ Consulte los enlaces de la página de Wikipedia para ver las pruebas.