¿Cuál es la cohomología integral de $\mathrm{PGL}_n(\mathbb{C})$ como espacio?

Question

El cálculo de la cohomología de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ es una de las aplicaciones básicas de la secuencia espectral de Serre, utilizando el haz de fibras $\mathrm{GL}_{n-1}(\mathbb{C})\to \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^{n} \setminus0$ . Utilizando la misma idea podemos obtener un haz de fibras $\mathrm{PGL}_{n-1}(\mathbb{C})\to \mathrm{PGL}_n(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}P^{n-1}$ pero ahora la base tiene suficiente cohomología para que los diferenciales no sean obviamente cero.

De hecho, creo que lo siguiente demuestra que $H^2(\mathrm{PGL}_n(\mathbb{C}))$ tiene torsión $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (por lo que no todos los diferenciales anteriores pueden ser cero), así como el cálculo de $H^*(\mathrm{PGL}_n(\mathbb{C}); \mathbb{Q})$ . La observación importante es que en el haz de fibras $\mathbb{C}^\times \to \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) \to \mathrm{PGL}_n(\mathbb{C})$ el mapa inducido $\pi_1(\mathbb{C}^\times) \to \pi_1(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}))$ viene dada por $\mathbb{Z} \xrightarrow{\times n} \mathbb{Z}$ . Así que de la larga secuencia exacta en homotopía, $\pi_1(\mathrm{PGL}_n(\mathbb{C})) = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ que aparece en $H^2$ . Además, con $\mathbb{Q}$ coeficientes, el mapa $H^*(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}); \mathbb{Q}) \to H^*(\mathbb{C}^\times; \mathbb{Q})$ es suryente, así que por Leray-Hirsch, $H^*(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}); \mathbb{Q}) = H^*(\mathrm{PGL}_n(\mathbb{C}); \mathbb{Q}) \otimes H^*(\mathbb{C}^\times; \mathbb{Q})$ que nos permite calcular $H^*(\mathrm{PGL}_n(\mathbb{C}); \mathbb{Q})$ - en particular, su polinomio de Poincaré viene dado por $(1+t^3)(1+t^5) \dotsm (1+t^{2n-1})$ .

Pero, ¿cómo se calcula la cohomología integral de $\mathrm{PGL}_n(\mathbb{C})$ ?

Answer 1

Por los argumentos expuestos en los comentarios, el grupo lineal proyectivo $PGL_n(\mathbb{C})$ es equivalente en homotopía al grupo unitario proyectivo $PU(n)$ por lo que basta con calcular la cohomología de $PU(n)$ .

Una forma de calcular esto es utilizar la secuencia espectral de Serre para el haz de fibras $U(1) \to U(n) \to PU(n)$ . Como señala la pregunta, no es demasiado difícil utilizar esto para deducir información racional. Para mod $p$ cohomología, los diferenciales potencialmente no triviales en esta secuencia espectral hacen que este cálculo sea más complicado. No obstante, esto se ha resuelto en

Baum, Paul F. y Browder, William. "La cohomología de cocientes de grupos clásicos". Topología 3 (1965), 305-336. [MR0189063]

La idea es que hay otro haz de fibras $U(n) \to PU(n) \to \mathbb{C}P^\infty$ obtenido al extender el haz de fibras anterior una vez por delooping. Las transgresiones en esta secuencia espectral pueden analizarse utilizando las clases de Chern: este principal $U(n)$ -se clasifica mediante el mapa compuesto $\mathbb{C}P^\infty = BU(1) \to BU(1)^{\times n} \to BU(n)$ cuyas clases de Chern, y por tanto las transgresiones, son fácilmente calculables. Trabajando en el primo $p$ los autores encuentran (corolario 4.2): $$H^*(PU(n); \mathbb{Z}/p) \cong \Lambda[x_1, x_2, \ldots, \hat{x_{p^r}}, \ldots, x_n] \otimes P[y]/(y^{p^r}),$$ donde $p^r$ es la mayor potencia de $p$ dividiendo $n$ , $\deg x_i = 2i - 1$ y $\deg y = 2$ .

Baum y Browder también proporcionan alguna información integral en el siguiente corolario (Corolario 4.3).