Demostrar que .

Question

Pruebalo $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^k}{a^x} = 0\ (a>1,k>0)$.

PD Este problema proviene de mi libro de análisis. Puede usar la definición de límites o invocar el teorema de Heine para obtener ayuda. Significa que la prueba solo debe usar algunas propiedades básicas y la definición de límites en lugar de enfoques más complicados.

Answer 1

Aplicando el resultado

Teorema : si${a_n}$ es una secuencia tal que$\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}= a\,,$, entonces

1) si$|a|<1$, luego$\lim_{n\to \infty}a_n =0 \,,$

2) si$ a>1$, luego$\lim_{n\to \infty}|a_n| =\infty \,,$

, tenemos, deje$b_x=\frac{x^k}{a^x}$, luego

ps

lo que implica por parte$$ \lim_{x\to \infty}\frac{b_{x+1}}{b_x}= \lim_{x\to \infty}\frac{(x+1)^k}{a^{x+1}}\frac{a^x}{x^k} = \lim_{x\to \infty}\frac{1}{a}(1+\frac{1}{x})^k = \frac{1}{a} < 1, $ del teorema que$(1)$

Answer 2

ps

ps

ps

ps

ps

ps

Answer 3

Es difícil saber lo que está permitido. Dejar $x^k=y$. Entonces estamos viendo$\frac{x}{(a^{1/k})^y}$.

Dejar $a^{1/k}=b$. Estamos calculando el$\lim_{y\to\infty}\frac{y}{b^y}$ de aspecto más simple.

Supongamos que sabemos que$b^y$ está aumentando. Dejar $b=1+d$.

Entonces $(1+d)^y \ge (1+d)^{\lfloor y\rfloor}$. Pero según el teorema binomial,$(1+d)^{\lfloor y\rfloor} \gt d^2\frac{\lfloor y\rfloor(\lfloor y\rfloor-1)}{2}$. Esto muestra que$b^y$ crece con mayor rapidez que$y$.