Que $\alpha > 0$, use inducción matemática para demostrar que

Question

Deje$\alpha > 0$, use la inducción matemática para probar que

ps

El signo de la raíz cuadrada aparece n veces en el lado izquierdo.

Answer 1

Dejar $b=\frac{1+\sqrt{4\alpha+1}}{2}$. Una característica clave para$b$ es que$b^2-\alpha=b$ o$b^2=\alpha+b$.

Ahora, permita que$a_n$ sea su LHS cuando haya$n$ signos de raíz cuadrada. El caso base$a_1<b$ es trivial. Y el paso de inducción sigue porque $$ a_ {n +1} ^ 2 = \ alpha + a_n <\ alpha + b = b ^ 2 \ implica a_ {n +1} <b. $$

Answer 2

SUGERENCIA: para el paso$n=p+1$, todo lo que necesita es probar$$\frac{1+\sqrt{4\alpha +1}}{2}\gt \sqrt{\frac{1+\sqrt{4\alpha +1}}{2}}.$ $

Answer 3

Lo primero es establecer alguna notación para que pueda aplicar la inducción.

Poner $a_1=\sqrt{\alpha},a_n=\sqrt{\alpha+a_n}$. Verifique que esa es la serie que desea.

Ahora vas a probarlo por inducción de la manera habitual. Comience mostrando que$a_1<(1+\sqrt{4\alpha+1})/2$. Luego, demuestre que si$a_n<(1+\sqrt{4\alpha+1})/2$, también lo es$a_{n+1}$.