Descargo de responsabilidad. La respuesta a continuación es una variación de Bogomolov del argumento y que no vendría a ser sin Dmitri respuesta. Si usted se siente como upvoting esto, por favor upvote su respuesta.
Las curvas de los productos de isogeneous curvas elípticas.
Como ya se ha sugerido en el cuerpo de la pregunta, si empezamos con un par de elíptica
curvas, decir $E_1$$E_2$, la admisión de un no-constante de morfismos $f : E_1 \to E_2$
dado cualquier punto de $p \in X=E_1 \times E_2$ tenemos infinidad de curvas elípticas con auto-intersección cero en $X$ pasando a través de $p$. Basta considerar que se traduce de las gráficas de endomorphisms de $E_2$ (hay al menos $\mathbb Z$ de ellos), compuesto con $f$.
Si nos blow-up $p$ entonces tenemos una superficie de $S$ que contiene un número infinito de (elíptica) curvas
con la negativa de auto-intersección.
Jacobians de género $2$ curvas. Como se señaló en la Dmitri responder a la
natural de morfismos
$$
\mathrm{Símbolo}^2 C \a \rm{Pic}^2(C) \cong \rm{Jac}(C)
$$
identifica a $\mathrm{Sym}^2 C$ con el golpe de $\rm{Jac}(C)$ a un punto.
Por lo tanto si
tenemos un género $2$ curva con Jacobiana isogenous a la plaza de una curva elíptica
luego de la discusión en el párrafo anterior muestra que $C^2$ tiene una infinidad de
curvas de negativo auto-intersección, ya podemos retirar el
negativo curvas en $\mathrm{Sym}^2 C$ a través de los naturales de morfismos $C^2 \to \rm{Sym}^2 C$.
Observe también que la negativa de las curvas han ilimitado intersección con la diagonal $\Delta \subset C^2$. No es difícil comprobar que el pull-backs de la negativa de curvas elípticas a $C^2$ tendrá ilimitada de género.
Ejemplo claro.
Si $C$ es un género $2$ curva de admitir a una de morfismos
$\pi : C \to E$ a una curva elíptica $E$ $\rm{Jac}(C)$ es isogeneous para el producto de $E$ con otro
curva elíptica $E'$ ( el componente conectado de que el núcleo de $\pi$ a través de cero).
Automorfismos de a $C$ ley natural en la $\rm{Jac}(C)$. Si hay un elemento
$\varphi \in \mathrm{Aut}(C)$ con inducida por la acción en $\rm{Jac}(C)$ no preservar $E'$ $E$ es isogeneous a $E'$ desde $$\pi_* \circ \varphi_* : \rm{Jac}(C) \to \rm{Jac}(E)\cong E$$ restricted to $E'$ is an isogeny. Therefore $\rm{Jac}(C)$ is isogeneous to the square of $E$.
Para tener un ejemplo concreto podemos tomar $C = \lbrace y^2 = x^6 - 1\rbrace$ que se asigna a $E =\lbrace y^2 = x^3 -1\rbrace$, y ha automorphism grupo isomorfo a $\mathbb Z_3 \rtimes D_8$ (que no es el automorphism grupo de cualquier curva elíptica). De la discusión anterior
de ello se desprende que $C^2$ tiene una infinidad de curvas de negativo auto-intersección y sin límites género.
Pregunta. Supongamos $C$ género $2$ curva tal que $C^2$ contiene una infinidad de
curvas de negativo auto-intersección. Es el Jacobiano de $C$ isogeneous
a la plaza de una curva elíptica ?
