número de ceros de un polinomio complejo

Question

Me gustaría saber cuántos ceros $z^4-5z+1$ tienen en el espacio anular $\{z | 1\lt |z| \lt 2\}$.

Creo que tengo que aplicar Rouch del teorema, pero no sé cómo. Me gustaría un poco de ayuda.

Editar:

Primero, considere el círculo de $|z|=2.$ Deje $f(z)=z^4$$g(z)=-5z+1$. En la curva de $|z|=2$, $|g(z)|=|-5z+1|\leq |-5z|+|3|\leq 13$, y $|f(z)|=2^4=16.$ por Lo tanto, la hipótesis de Rouch del Teorema están satisfechos. Ahora, desde la $f(z)=z^4$ tiene cuatro ceros dentro de $|z|=2$, por Rouch del Teorema, $f(z)+g(z)= z^4 -5z +1$ también tiene cuatro ceros dentro de $|z|=2.$

Ahora, considere el círculo de $|z|=1$. Deje $f(z)=-5z+1~,g(z)=z^4$. A continuación, en $|z|=1$, $|g(z)|=|z^4|=1.$ Pero $|f(z)|=|-5z+1|\lt |-5z| +|1|=4.$ Así que de nuevo, la hipótesis se cumple. Pero $f(z)$ tiene sólo un cero en el interior de $|z|=1$, por lo tanto, $f(z)+g(z)=z^4-5z+1$ también tiene sólo un cero en $|z|=1$.. por lo tanto, $z^4-5z+1$ $(4-1)=3$ ceros en el anillo $\{z | 1\lt |z| \lt 2\}$.

Por favor, es el de arriba a la derecha?

gracias.

Answer 1

Podemos dividir esto en problemas más simples. Mire la cantidad de ceros con$|z|<1$. Luego, busca la cantidad de ceros con$|z|<2$. Reste el primero del segundo, y listo. Ambos sub-problemas deberían ser aplicaciones simples de Rouche.

Dependiendo de cómo discutas, es posible que tengas que verificar que no haya ceros con |$z|=1$ o$|z|=2$. Asegúrate de hacerlo si es necesario.