análisis complejo / pregunta de expansión de Taylor

Question

Permita que$f:\mathbb C \rightarrow \mathbb C$ sea holomorfo y$f(z)=f(-z)$ para todos$z\in \mathbb C$. Demuestre que existe una función holomórfica$g$ tal que$g(z^2)=f(z)$.

Si tomo$g(z):=(f(z)+f(-z))/2$, entonces puedo probar que$g(z)=\sum_0^\infty a_{2n}z^n$. Por supuesto,$g$ así definido es holomórfico. ¿Pero cómo muestra esto que$g(^2)=f(z)$ también ?. Quiero decir que los coeficientes de los dos son diferentes cuando se comparan términos por términos. ¿Pueden ayudar chicos? ¿O debería este$g$definir de manera diferente? Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Si$f$ es par, la serie Maclaurin de$f$ contiene solo poderes par. (¡Complete los detalles de esto!)

Por lo tanto,$$ f(z) = a_0 + a_2z^2 + a_4z^4 + a_6z^6 +\cdots = a_0 + a_2(z^2) + a_4(z^2)^2 + a_6(z^2)^3 + \cdots$ $

Establecer$$g(z) = a_0 + a_2z + a_4z^2 + a_6z^3 + \cdots$ $